O estudo da altura dos alunos de uma faculdade mostrou distribuição normal com média de 1,72 m e desvio padrão de 5 cm . Qual a porcentagem dos alunos com altura: (a) entre 1,57 m e 1,87 m, (b) acima de 1,90. (Repostas: (a) 9973%, (b) 0,02%).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a altura dos alunos segue uma distribuição Normal com média
m e desvio padrão cm (ou seja, m).
A gente precisa achar duas porcentagens:
(a) a fração de alunos com altura entre 1,57 m e 1,87 m;
(b) a fração de alunos com altura acima de 1,90 m.
O conteúdo que vamos usar é o de distribuição normal padrão e Z-score.

Passo 2

Primeiro, converte-se qualquer valor Z ;=; X - musigma pra um “Z”, que é o quão longe em desvios-padrão esse está da média, pela fórmula:
Depois a gente usa tabela ou calculadora da Normal padrão pra achar probabilidades.

Passo 3

Let’s calcular a parte (a):
Queremos
P(1,57 <= X <= 1,87)
Passo 1: converte os extremos em Z’s:
Z1 = 1,57 - 1,720,05 = -0,150,05 = -3, Z2 = 1,87 - 1,720,05 = 0,150,05 = 3
Passo 2: então
P(1,57 <= X <= 1,87) = P(-3 <= Z <= 3) = Phi(3) - Phi(-3)
Na tabela da Normal, P(-3 <= Z <= 3) = 0,99865 - 0,00135 = 0,99730 e .
Logo
Isso dá cerca de 99,73%.

Passo 4

Agora a parte (b):
P(X > 1,90)
Converte em Z:
Z = 1,90 - 1,720,05 = 0,180,05 = 3,6
Então
P(X > 1,90) = P(Z > 3,6) = 1 - Phi(3,6)
Da tabela, P(Z > 3,6) approx 1 - 0,99984 = 0,00016, , então
ou seja 0,016%, que arredondando fica ~0,02%.

Resposta

(a) 99,73%
(b) 0,02%

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