Qual a unidade de C2? Dica: basta fazer análise dimensional na equação (I)

Passo 1

O que o problema pede: descobrir a unidade de C_2.
Informações dadas (peguei a equação (I) da imagem que você enviou): a equação (I) é
\frac{dC}{dt}+2\Omega\frac{dA_m}{dt}=0.
Aqui C é a circulação, \Omega é a velocidade angular da Terra e A_m é uma área projetada (não precisamos do valor numérico, só das unidades).

Passo 2

Vamos listar as unidades conhecidas de cada grandeza que aparece na equação.
  • Tempo t tem unidade \mathrm{s}.
  • Velocidade angular \Omega tem unidade de radiano por segundo; radiano é adimensional, logo a unidade é \mathrm{s}^{-1}. Em TeX: \Omega tem unidade \mathrm{s}^{-1}.
  • A área A_m tem unidade de área: \mathrm{m}^2.

Passo 3

Agora analisamos as unidades dos termos da equação (I).
  • \dfrac{dA_m}{dt} tem unidade \dfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}, porque é área por tempo.
  • Multiplicando por 2\Omega (o fator 2 é adimensional), o termo 2\Omega\dfrac{dA_m}{dt} tem unidade
\mathrm{s}^{-1}\times\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}.

Passo 4

A equação (I) soma \dfrac{dC}{dt} com 2\Omega\dfrac{dA_m}{dt}, portanto os dois termos têm de ter a mesma unidade. Concluímos que \dfrac{dC}{dt} tem unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.

Passo 5

Integrando dimensionalmente em relação ao tempo (ou simplesmente multiplicando a unidade de \dfrac{dC}{dt} por \mathrm{s}) obtemos a unidade de C:
\left[\frac{dC}{dt}\right]\times\mathrm{s}=\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}\times\mathrm{s}=\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}.
Portanto C (e assim C_2) tem unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Verificação física rápida (intuição): a circulação é definida por \displaystyle C=\oint \vec v\cdot d\vec l. Como \vec v tem unidade \mathrm{m}/\mathrm{s} e d\vec l tem unidade \mathrm{m}, a circulação tem unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, consistente com a análise acima.

Resposta

\mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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