Calcule a vorticidade \vec{\omega} para o vórtice acima descrito.
Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para estimar a vorticidade em um ponto?
Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para saber se ele está em rotação de corpo sólido?
Quantas medidas de vorticidade são necessárias no interior do vórtice para se inferir a vorticidade em toda a área por ele ocupada?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Calcular a vorticidade \vec{\omega} para o vórtice “acima descrito”.
  2. Dizer o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para estimar a vorticidade em um ponto.
  3. Dizer o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para saber se o escoamento naquele ponto é de rotação de corpo rígido (rotação de corpo sólido).
  4. Dizer quantas medidas de vorticidade são necessárias no interior do vórtice para inferir a vorticidade em toda a área ocupada por ele.
Informações relevantes dadas (e o que falta):
  • O enunciado refere-se a um “vórtice acima descrito”, mas você não me enviou a expressão explícita do campo de velocidade nem figura alguma.
  • Como não há função \vec{v}(\vec{r}) explícita nem uma figura com dados, não é possível calcular numericamente (ou simbolicamente de forma específica) a vorticidade daquele vórtice em particular.
  • Vou então: (a) explicar didaticamente o que é vorticidade e como calculá-la a partir de um campo de velocidades; (b) mostrar exemplos típicos (vórtice de corpo rígido, vórtice potencial/Rankine) com as fórmulas; (c) responder às três perguntas sobre número mínimo de medidas, deixando claro as hipóteses usadas.

Passo 2

O que é vorticidade e a fórmula geral (aula rápida e prática).
  • Definição: a vorticidade é o campo vetorial que mede a rotação local do fluido. Em notação matemática,
\vec{\omega} = \nabla \times \vec{v}.
  • Em coordenadas cartesianas, para \vec{v}=(u,v,w) com u=u(x,y,z),\;v=v(x,y,z),\;w=w(x,y,z),
\vec{\omega} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \\\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x} \\\ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \end{pmatrix}.
Explanação das componentes:
  • Cada componente é a diferença entre duas derivadas parciais. Ex.: \omega_z=\partial v/\partial x-\partial u/\partial y é a componente fora do plano xy e mede a rotação em torno do eixo z.
  • Intuição numérica: para estimar \omega_z você precisa de aproximações das derivadas \partial v/\partial x e \partial u/\partial y, que se obtêm a partir de medidas de velocidade em pontos vizinhos (veja passo sobre diferenças finitas).

Passo 3

Como calcular na prática (diferenças finitas) — método que você pode aplicar na prova sem calculadora, com cuidado.
  • Suponha que você tem medidas de \vec{v} em pontos próximos ao ponto de interesse. Para aproximar \partial u/\partial x você usa (diferença central):
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x_0}\approx \frac{u(x_0+\Delta x)-u(x_0-\Delta x)}{2\Delta x}.
  • Analogamente para as outras derivadas parciais. Depois substitui essas aproximações na fórmula do curl do Passo 2 para obter \vec{\omega}.
  • Exemplo concreto e simples (2D, fluxo no plano xy): se \vec v=(u(x,y),v(x,y),0), então a vorticidade tem só componente z:
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Para calcular \omega_z você precisa das quatro medidas (em geral) que permitam estimar \partial v/\partial x e \partial u/\partial y por diferenças centrais — tipicamente isso exige um pequeno quadrado de pontos ao redor do ponto central (veja passo 4).

Passo 4

Exemplos de vórtices clássicos (para reconhecer na prova e calcular rápido)
  1. Vórtice de corpo rígido (rotação sólida) com velocidade dada por \vec{v}=\vec{\Omega}\times\vec{r} (aqui \vec{\Omega} é o vetor velocidade angular constante):
    • Cálculo: usando \nabla\times(\vec{\Omega}\times\vec{r})=2\vec{\Omega}, obtemos
    \vec{\omega}=2\vec{\Omega},ou seja, a vorticidade é uniforme (constante) e igual ao dobro do vetor de rotação. Isso é muito útil: se você reconhecer que \vec v tem a forma de rotação rígida, já sabe a vorticidade imediatamente.
  2. Vórtice potencial (escolar): em 2D, velocidade tangencial \displaystyle v_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r} (vórtice livre / ponto-vórtice):
    • Para r>0 (fora do eixo) essa é um campo sem rotação local (irrotacional), isto é \vec{\omega}=0 fora do centro; a vorticidade está concentrada numa singularidade no centro (modelo idealizado).
  3. Vórtice de Rankine (modelo truncado): núcleo interno r<R se comporta como rotação sólida com \vec{\omega}=2\vec{\Omega} constante no núcleo; fora do núcleo r>R típico de vórtice potencial com \vec{\omega}=0.
  • Esses exemplos mostram dois casos opostos: vorticidade uniforme (só precisa de uma medida para conhecê-la, se você conhece o modelo) e vorticidade distribuída (precisa de várias medidas).

Passo 5

Quantas medidas de velocidade são necessárias para estimar a vorticidade num ponto? (resposta didática e passo a passo)
  • Precisamos esclarecer a hipótese usada: aqui eu vou assumir que cada “medida de velocidade” fornece os três componentes u,v,w no ponto medido (ou seja, um velocímetro tri-axial). Se você mede só um componente, as contagens mudam.
  • Ideia chave: para estimar a vorticidade \vec{\omega} no ponto precisa-se conhecer as derivadas parciais contidas em \nabla\!\times\!\vec v. Aproximando localmente por um mapa linear \vec v(\vec r)\approx \vec v_0 + A(\vec r-\vec r_0) onde A=\nabla\vec v é uma matriz 3\times3, temos 9 incógnitas (os 9 elementos de A). A vorticidade está contida na parte antissimétrica de A, mas essa parte não pode ser separada da parte simétrica sem informação suficiente.
  • Contagem de equações: cada ponto adicional onde medimos \vec v (além do ponto de referência \vec r_0) fornece 3 equações (as três componentes de \Delta\vec v). Então, com N pontos no total obtemos 3(N-1) equações para determinar os 9 elementos de A. Para poder determinar de forma não ambígua o gradiente (e, portanto, a vorticidade) precisamos que
3(N-1)\ge 9 \quad\Rightarrow\quad N-1\ge 3 \quad\Rightarrow\quad N\ge 4.
  • Conclusão prática: para estimar de forma local e independente a vorticidade completa em 3D, você precisa de medições de velocidade em pelo menos 4 pontos não coplanares (normalmente: o ponto central mais 3 pontos que formem um tetraedro bem condicionado). Com esse mínimo você pode resolver linearmente para os 9 elementos de A e então calcular \vec{\omega}=\nabla\times\vec v.
  • Caso 2D (escoamento plano, sem componente w e sem dependência em z): a contagem muda. O tensor gradiente tem 4 incógnitas e a vorticidade tem 1 incógnita ( \omega_z). Cada ponto adicional fornece 2 equações (componentes u,v), logo precisa-se de
2(N-1)\ge 4 \quad\Rightarrow\quad N\ge 3.
Assim, em 2D você precisa de pelo menos 3 pontos não colineares (por exemplo, o central e dois vizinhos) para estimar o gradiente e portanto \omega_z.

Passo 6

Quantas medidas de velocidade são necessárias para saber se o escoamento é rotação de corpo sólido?
  • Para afirmar que localmente o escoamento é rotação de corpo rígido (rotação sólida) você precisa verificar duas coisas sobre o gradiente A=\nabla\vec v: (i) a parte simétrica (deformação/strain rate) é (aproximadamente) zero; (ii) a parte antissimétrica corresponde a um vetor \vec{\Omega} constante tal que \vec v\approx\vec v_0+\vec{\Omega}\times(\vec r-\vec r_0). Essas são condições sobre o gradiente completo A.
  • Portanto você precisa do mesmo número de medidas que para obter o gradiente completo: no caso 3D pelo menos 4 pontos não coplanares (medindo as três componentes de \vec v), no caso 2D pelo menos 3 pontos não colineares. Com isso você calcula A, separa as partes simétrica e antissimétrica, e verifica se a simétrica é zero (ou muito pequena) e se a antissimétrica é espacialmente constante no domínio de interesse (para concluir rotação sólida).

Passo 7

Quantas medidas de vorticidade no interior do vórtice são necessárias para inferir a vorticidade em toda a área ocupada por ele?
  • Depende do modelo/hipótese sobre a distribuição de vorticidade:
    1. Se você assume que a vorticidade é espacialmente uniforme (caso clássico: núcleo de vórtice em rotação sólida), então uma única boa medida (num ponto representativo) é suficiente para inferir \vec{\omega} em toda a região.
    2. Se você assume um modelo com poucos parâmetros (por ex., Rankine: vorticidade constante no núcleo e zero fora; então os parâmetros são a vorticidade do núcleo e o raio R), então o número mínimo de medidas é igual ao número de parâmetros que precisa ajustar (por exemplo, medir duas quantidades distintas pode ser suficiente para identificar vorticidade e raio, dependendo do método).
    3. Se NÃO houver modelo ou hipótese de baixa dimensionalidade (vorticidade arbitrária e desconhecida), então, teoricamente, a vorticidade é uma função contínua do espaço e você precisa de uma amostragem espacial suficientemente densa para reconstruir essa função — no limite continuo isso é “infinito”; na prática, precisa-se de tantas medidas quanto o número de graus de liberdade discretizados (por exemplo, número de nós de uma malha numérica ou número de coeficientes no modelo de expansão).
  • Em linguagem prática para prova: “uma medida basta se a vorticidade for uniforme; caso contrário, é preciso tantas medidas quanto forem necessárias para representar a variação espacial — i.e., tantas quanto os parâmetros do modelo ou os pontos da malha com que você pretende descrever a região”.

Resposta

Não é possível calcular numericamente \vec{\omega} para o “vórtice acima descrito” porque o enunciado não forneceu a expressão do campo de velocidade nem a figura com dados; em geral \displaystyle \vec{\omega}=\nabla\times\vec v.
Número mínimo de medidas de velocidade para estimar a vorticidade em um ponto: 4 pontos não coplanares (medindo as três componentes da velocidade) em 3D; em 2D (escoamento plano) 3 pontos não colineares.
Número mínimo de medidas de velocidade para saber se é rotação de corpo sólido: idem ao anterior — 4 pontos não coplanares em 3D; 3 pontos não colineares em 2D (porque é preciso determinar o gradiente completo e separar parte simétrica/antissimétrica).
Quantas medidas de vorticidade no interior do vórtice para inferir a vorticidade em toda a área: se a vorticidade é uniforme (rotação sólida) então 1 medida bastará; se há um modelo com p parâmetros, precisa-se de pelo menos p medidas adequadas; se não há hipótese/modelo, teoricamente é necessária uma amostragem densa (praticamente tantas medidas quanto pontos na malha de representação).

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