1-) Um ventilador, operando no seu ponto de projeto, com ar de massa específica igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, desenvolve uma diferença de pressão total de 7357,5 \mathrm{~Pa} e uma vazão de 38 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, quando gira a uma velocidade de rotação de 1480 rpm. Para um modelo reduzido que desenvolve a mesma diferença de pressão total, girando a uma velocidade de 2960 rpm, determinar:
(a) A vazão do modelo;
(b) O tipo de ventilador em questão, justificando;
(c) O fator de escala geométrica, \mathrm{k}_{\mathrm{G}}, entre protótipo e modelo;
(d) A potência no eixo do modelo, considerando o seu rendimento igual ao do protótipo, e este igual a 75%.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um ventilador (protótipo) que, com ar de densidade \rho=1,2\:\mathrm{kg/m^3}, desenvolve diferença de pressão total \Delta p=7357{,}5\:\mathrm{Pa} e vazão Q=38\:\mathrm{m^3/s} ao girar a n=1480\:\mathrm{rpm}. Um modelo, geometrica­mente semelhante, gira a 2n=2960\:\mathrm{rpm} e também entrega \Delta p igual à do protótipo. Precisamos achar:
(a) Q_{\rm modelo};
(b) tipo de ventilador;
(c) fator de escala geométrica k_G;
(d) potência no eixo do modelo, sabendo que η-protótipo =\eta-modelo =75 %.

Passo 2

Aplicamos as leis de semelhança dimensional para ventiladores, que valem sob igualdade de números adimensionais:
Q \;\propto\; n\,D^3,
\Delta p \;\propto\; \rho\,n^2\,D^2,
P \;\propto\; \rho\,n^3\,D^5,
onde D é um comprimento característico da geometria (por exemplo o diâmetro).

Passo 3

Igualando \Delta p_{\rm modelo}=\Delta p_{\rm protótipo}ó e sabendo \rho constante:
\rho\,n_{\rm m}^2\,D_{\rm m}^2 = \rho\,n_{\rm p}^2\,D_{\rm p}^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{D_{\rm m}}{D_{\rm p}} = \frac{n_{\rm p}}{n_{\rm m}} = \frac{1480}{2960} =0{,}5.

Passo 4

Usamos a lei de vazão:
\frac{Q_{\rm m}}{Q_{\rm p}} = \frac{n_{\rm m}}{n_{\rm p}} \Bigl(\frac{D_{\rm m}}{D_{\rm p}}\Bigr)^3 = 2\;\times(0{,}5)^3 = 2\times0{,}125 = 0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad Q_{\rm m}=0{,}25\times38=9{,}5\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Para \Delta p\approx7{,}4\:\mathrm{kPa} e vazões da ordem de dezenas de \mathrm{m^3/s}, trata-se de um ventilador centrífugo (radial), pois ventiladores axiais normalmente geram pressões muito menores (hundreds of Pa).

Passo 6

O fator de escala geométrica entre modelo e protótipo define-se como
k_G=\frac{D_{\rm m}}{D_{\rm p}}=0{,}5.

Passo 7

A potência no eixo do modelo, considerando mesmo rendimento \eta=0{,}75, é
P_{\rm m} = \frac{\Delta p\;\!Q_{\rm m}}{\eta} = \frac{7357{,}5\times9{,}5}{0{,}75} \approx9{,}33\times10^{4}\:\mathrm{W} =93{,}3\:\mathrm{kW}.

Resposta

(a) 9{,}5\:\mathrm{m^3/s}
(b) Ventilador centrífugo (radial), pois gera \Delta p\approx7{,}4\:\mathrm{kPa} típico de sopradores centrífugos.
(c) k_G=D_{\rm m}/D_{\rm p}=0{,}5.
(d) P_{\rm eixo,\,modelo}\approx93{,}3\:\mathrm{kW}.

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