Novamente pela regra da cadeia determine: d zd s e d zd t.
z=xy, para x=s e^t e y=1+s e^-t

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de z em relação a s e a t, sabendo que estamos em Conteúdo de derivadas de funções compostas. Vamos precisar das seguintes relações: z=xy, com x=se^t e y=1+se^-t, e da fórmula da regra da cadeia: partial zpartial s=partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s (e análoga para t).

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como z=xy=x,y^-1, usamos a regra do quociente ou produto:
partial zpartial x=1y, partial zpartial y=-xy^2
Também calculamos as derivadas de x e y em relação a s:
partial xpartial s=e^t, partial ypartial s=e^-t

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para dzds:
dzds=partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s =1ye^t-xy^2e^-t
Substituindo x=se^t e y=1+se^-t e simplificando (note que x e^-t=s e e^t y=e^t+s) obtemos
dzds=e^ty^2 =e^tl(1+se^-tr)^2

Passo 4

Para dzdt calculamos primeiro
partial xpartial t=se^t, partial ypartial t=-se^-t
Então
dzdt=partial zpartial xpartial xpartial t+partial zpartial ypartial ypartial t =1yse^t-xy^2(-se^-t) =se^ty+x,s e^-ty^2
Substituindo x=se^t e fazendo a simplificação (note que x s e^-t=s^2 e se^t y=s e^t+s^2) resulta
dzdt=s e^t+2s^2y^2 =sl(e^t+2sr)l(1+se^-tr)^2

Resposta

dzds=e^tl(1+se^-tr)^2, dzdt=sl(e^t+2sr)l(1+se^-tr)^2

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