Resolva a equação do calor ut=c ux x em uma barra infinita começando em v0(x)=de.

Passo 1

Temos a equação do calor numa barra infinita com condicional inicial dada pela função delta de Dirac em zero. O conteúdo da matéria é PDE de difusão unidimensional e vamos precisar usar a transformada de Fourier para converter a PDE numa EDO em cada modo e depois inverter essa transformada.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em x como
hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx
Aplicando isso à PDE u_t=cu_{xx} e usando propriedades de derivadas sob o integral, obtemos
partialthat u(k,t)=-ck^2hat u(k,t)
A condição inicial u(x,0)=δ(x) implica hat u(k,0)=1.

Passo 3

Resolvendo a EDO para cada k, vemos que
hat u(k,t)=e^-ck^2t,
pois a EDO é partialthat u=-ck^2hat u com hat u(k,0)=1.

Passo 4

Para voltar ao espaço físico x, fazemos a transformada inversa
u(x,t)=12piintegral-infty^inftye^-ck^2te^ikx,dk
Esse integral é um caso padrão de integral Gaussiana. Sabemos que
integral-infty^inftye^-ak^2+bk,dk=raizpiae^b^2/(4a),
para Re(a)>0. Aqui a=ct e b= i x.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral Gaussiana no caso a=ct e b=i x, obtemos
u(x,t)=12piraizpict,e^-x^2/(4ct)cdot 2pi =1raiz4pi cte^-x^24ct

Resposta

A solução fundamental da equação do calor na barra infinita com condição inicial δ(x) é
u(x,t)=1raiz4pi c,texpl(-x^24c,tr)

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