Resolva a equação do calor
em uma barra infinita começando em
.
Passo 1
Temos a equação do calor numa barra infinita com condicional inicial dada pela função delta de Dirac em zero. O conteúdo da matéria é PDE de difusão unidimensional e vamos precisar usar a transformada de Fourier para converter a PDE numa EDO em cada modo e depois inverter essa transformada.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em x como
Aplicando isso à PDE u_t=cu_{xx} e usando propriedades de derivadas sob o integral, obtemos
A condição inicial u(x,0)=δ(x) implica
.
Passo 3
Resolvendo a EDO para cada k, vemos que
pois a EDO é
Passo 4
Para voltar ao espaço físico x, fazemos a transformada inversa
Esse integral é um caso padrão de integral Gaussiana. Sabemos que
para Re(a)>0. Aqui a=ct e b= i x.
Passo 5
Aplicando a fórmula da integral Gaussiana no caso a=ct e b=i x, obtemos
Resposta
A solução fundamental da equação do calor na barra infinita com condição inicial δ(x) é