Nove medidas de pH de uma solução-tampão proporcionaram os seguintes resultados: 5,12 5,20 5,15 5,175,165,195,15 5,14 5,16 Calcular os limites de confiança para o verdadeiro pH da solução ao nível de confiança de (i) 95% e (ii)
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Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre medidas de pH de uma solução-tampão. Foram feitas nove medições de pH: 5,12; 5,20; 5,15; 5,175; 5,165; 5,195; 5,15; 5,14; e 5,16. A ideia é calcular os limites de confiança para o verdadeiro valor do pH dessa solução com níveis de confiança de 95% e 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das nossas medições. A média é basicamente a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Isso nos dá uma ideia central dos dados.
Calculando isso:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os valores diferem da média. Com uma amostra pequena, usamos a fórmula do desvio padrão amostral:
Vamos calcular cada diferença ao quadrado, somar tudo e depois dividir por (9-1) = 8.
Após os cálculos, supondo que o desvio padrão seja aproximadamente:
Passo 4
Como nossa amostra é pequena (n = 9) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico que nos ajuda a construir o intervalo de confiança. Precisamos dos níveis de confiança de 95% e 99%, e os graus de liberdade serão n - 1 = 8.
Consultando a tabela t, encontramos:
- Para 95% de confiança e 8 graus de liberdade, o valor t é aproximadamente 2,306.
- Para 99% de confiança e 8 graus de liberdade, o valor t é aproximadamente 3,355.
Passo 5
Com a média, o desvio padrão e o valor t, podemos calcular a margem de erro usando a fórmula:
Vamos calcular para cada nível de confiança:
- 95% de Confiança:
- 99% de Confiança:
Passo 6
Agora, construímos os intervalos de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média:
- 95% de Confiança:
- 99% de Confiança:
Resposta
Os limites de confiança para o verdadeiro pH da solução são:
- 95% de Confiança: entre 5,114 e 5,162.
- 99% de Confiança: entre 5,103 e 5,172.