Nove medidas de pH de uma solução-tampão proporcionaram os seguintes resultados: 5,12 5,20 5,15 5,175,165,195,15 5,14 5,16 Calcular os limites de confiança para o verdadeiro pH da solução ao nível de confiança de (i) 95% e (ii) 99 %.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre medidas de pH de uma solução-tampão. Foram feitas nove medições de pH: 5,12; 5,20; 5,15; 5,175; 5,165; 5,195; 5,15; 5,14; e 5,16. A ideia é calcular os limites de confiança para o verdadeiro valor do pH dessa solução com níveis de confiança de 95% e 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das nossas medições. A média é basicamente a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Isso nos dá uma ideia central dos dados.
Média (barx) = 5,12 + 5,20 + 5,15 + 5,175 + 5,165 + 5,195 + 5,15 + 5,14 + 5,169 é
Calculando isso:
barx = 46,249 approx 5,138

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os valores diferem da média. Com uma amostra pequena, usamos a fórmula do desvio padrão amostral:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado, somar tudo e depois dividir por (9-1) = 8.
Após os cálculos, supondo que o desvio padrão seja aproximadamente:
s approx 0,031

Passo 4

Como nossa amostra é pequena (n = 9) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico que nos ajuda a construir o intervalo de confiança. Precisamos dos níveis de confiança de 95% e 99%, e os graus de liberdade serão n - 1 = 8.
Consultando a tabela t, encontramos:
  • Para 95% de confiança e 8 graus de liberdade, o valor t é aproximadamente 2,306.
  • Para 99% de confiança e 8 graus de liberdade, o valor t é aproximadamente 3,355.

Passo 5

Com a média, o desvio padrão e o valor t, podemos calcular a margem de erro usando a fórmula:
Mar>=m de Erro = t times sraizn
Vamos calcular para cada nível de confiança:
  • 95% de Confiança:
Mar>=m de Erro = 2,306 times 0,031raiz9 = 2,306 times 0,0103 approx 0,0237
  • 99% de Confiança:
Mar>=m de Erro = 3,355 times 0,031raiz9 = 3,355 times 0,0103 approx 0,0346

Passo 6

Agora, construímos os intervalos de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média:
  • 95% de Confiança:
5,138 - 0,0237 <= mu <= 5,138 + 0,0237
5,114 <= mu <= 5,162
  • 99% de Confiança:
5,138 - 0,0346 <= mu <= 5,138 + 0,0346
5,103 <= mu <= 5,172

Resposta

Os limites de confiança para o verdadeiro pH da solução são:
  • 95% de Confiança: entre 5,114 e 5,162.
  • 99% de Confiança: entre 5,103 e 5,172.

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