Um novo composto foi isolado de uma planta incomum, e revelou ter propriedades que permitem que essa substância química atue como uma base fraca monoprótica. Uma amostra pura de 0,0356 \mathrm{~g} desse composto é dissolvida em 25,00 \mathrm{~mL} de água destilada. O pH da solução após o composto se dissolver totalmente é determinado como sendo 11,42 . Essa amostra é então titulada com HCl a 0,01000 \mathrm{~mol} / \mathrm{Le}, após a adição de 22,67 \mathrm{~mL}, fornece um ponto final a um pH 6,60. Após a adição de 9,45 \mathrm{~mL} e 16,03 \mathrm{~mL} de titulante, os valores de pH da mistura amostra/titulante são determinados como sendo 11,02 e 10,49 , respectivamente. Estime a massa molar e o pKb para esse composto.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos deram (peguei todos estes números do enunciado):
  • Pedido: estimar a massa molar e o pK_b do composto, que é uma base fraca monoprótica pura.
  • Dados:
    • massa da amostra: 0,0356\\ \mathrm{g}.
    • volume da solução inicial: 25,00\\ \mathrm{mL}.
    • pH da solução inicial (antes de titular): 11,42.
    • titulante: \mathrm{HCl} de concentração 0,01000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
    • volume de titulante no ponto de equivalência: 22,67\\ \mathrm{mL} (o ponto final corresponde a pH=6,60).
    • dois pontos intermediários de titulação: após 9,45\\ \mathrm{mL} pH =11,02, e após 16,03\\ \mathrm{mL} pH =10,49. (estes dados podem ser usados para checar a consistência).
  • Observação: solução inicial tem apenas a base neutra e água; a base é monoprótica (cada mol de base gera no máximo 1 mol de \mathrm{OH^-} quando reage com água).

Passo 2

Plano geral (sem calcular ainda): como vamos obter massa molar e pK_b.
  • A massa molar M entra ao relacionar moles iniciais da base com a massa fornecida:
    n_{\text{base}}=\frac{0,0356}{M}.
    A concentração inicial da base (antes da titulação) é
    C_b=\frac{n_{\text{base}}}{0,02500\\ \mathrm{L}}=\frac{0,0356}{0,02500\,M}=\frac{1,424}{M}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1},
    onde M é a massa molar em \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Do pH inicial conseguimos a concentração de \mathrm{OH^-} proveniente da dissociação da base fraca; com isso podemos escrever a expressão de K_b em função de M e do [OH^-].
  • Do ponto de equivalência (após adicionar 22,67\\ \mathrm{mL} de HCl) temos uma solução da espécie conjugada ácida \mathrm{BH^+} cujo pH ( 6,60) permite estimar K_a(\mathrm{BH^+}) e, a partir daí, K_b=\dfrac{K_w}{K_a}. Essa relação entre K_a e K_b introduzirá outra equação envolvendo M.
  • Com essas duas equações (uma vinda do equilíbrio da base inicial; outra vinda do ponto de equivalência) podemos resolver para M e K_b.

Passo 3

Converter pH inicial em concentração de \mathrm{OH^-} e escrever a expressão de K_b a partir do equilíbrio da base.
  • Cálculo de [OH^-] a partir do pH inicial 11,42.
    • Primeiro calcular pOH: pOH = 14,00 - 11,42 = 2,58.
    • Então [\mathrm{OH^-}] = 10^{-pOH} = 10^{-2,58}.Vamos avaliar numericamente: [\mathrm{OH^-}] \approx 2,6303\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.(isto é a concentração de \mathrm{OH^-} em equilíbrio, que chamarei de x; portanto x=2,6303\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.)
  • Escrevendo o equilíbrio da base fraca B em água:
    B + H_2O \rightleftharpoons BH^+ + OH^-.
    Se a concentração inicial é C_b e a dissociação é x, então em equilíbrio:
    [\mathrm{OH^-}] = x,\quad [BH^+] = x,\quad [B] = C_b - x.
    A constante de basicidade é
    K_b = \frac{[\mathrm{BH^+}][\mathrm{OH^-}]}{[B]} = \frac{x^2}{C_b - x}.
    Substituir C_b=\dfrac{1,424}{M} e x=2,6303\times10^{-3} dá uma expressão de K_b em termos de M:
    K_b = \frac{\left(2,6303\times 10^{-3}\right)^2}{\dfrac{1,424}{M} - 2,6303\times 10^{-3}}.
    Vou simplificar essa relação mais adiante, depois usarei a segunda equação vinda do ponto de equivalência.

Passo 4

Usar o ponto de equivalência para relacionar K_b e M via a hidrólise do cátion conjugado \mathrm{BH^+}.
  • No ponto de equivalência todo o B foi convertido em \mathrm{BH^+}. O número de moles iniciais da base é
    n_{\text{base}}=\frac{0,0356}{M}.
    Após adicionar 22,67\\ \mathrm{mL} de HCl, o volume total é
    V_{\text{eq}} = 25,00\\ \mathrm{mL} + 22,67\\ \mathrm{mL} = 47,67\\ \mathrm{mL} = 0,04767\\ \mathrm{L}.
    Então a concentração de \mathrm{BH^+} no ponto de equivalência é
    C_{\mathrm{BH^+}} = \frac{n_{\text{base}}}{V_{\text{eq}}} = \frac{0,0356/M}{0,04767} = \frac{0,74688}{M}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
    (Fiz a divisão numérica: 0,0356/0,04767\approx 0,74688.)
  • No ponto de equivalência a solução contém o ácido conjugado \mathrm{BH^+} que sofre hidrólise:
    BH^+ + H_2O \rightleftharpoons B + H_3O^+.
    Defina y=[\mathrm{H^+}] gerado por hidrólise; o pH medido no ponto de equivalência é 6,60, então
    [\mathrm{H^+}] = 10^{-6,60} \approx 2,5119\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
    (Esse valor é pequeno em comparação com C_{\mathrm{BH^+}}, então é razoável aproximar [\mathrm{BH^+}]\approx C_{\mathrm{BH^+}} na expressão de equilíbrio.)
  • A constante de acidez do cátion é
    K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][B]}{[\mathrm{BH^+}]} \approx \frac{[\mathrm{H^+}]^2}{C_{\mathrm{BH^+}}},
    porque a concentração de B formada é aproximadamente igual a [\mathrm{H^+}] (a quantidade hidrolisada).
    Substituindo numericamente:
    K_a \approx \frac{\left(2,5119\times10^{-7}\right)^2}{0,74688/M} = \frac{6,3096\times10^{-14}}{0,74688/M} = \left(8,4493\times10^{-14}\right)\,M.
    (expliquei: calculei \left(10^{-6,60}\right)^2=10^{-13,20}=6,3096\times10^{-14}, dividi por 0,74688/M e arrumei a expressão.)
  • A relação entre K_a e K_b é
    K_a\,K_b = K_w,
    com K_w=1,00\times10^{-14} 25\,^\circ\mathrm{C}). Assim
    K_b = \frac{K_w}{K_a} = \frac{1,00\times10^{-14}}{(8,4493\times10^{-14})\,M} = \frac{0,11836}{M}.
    (Aqui obtivemos uma expressão simples: K_b é proporcional a 1/M.)

Passo 5

Combinar as duas expressões para K_b (da dissociação inicial e da equivalência) e resolver para M.
  • A expressão do Passo 3 era K_b = \frac{x^2}{C_b - x}com x=2,6303\times10^{-3} e C_b=\dfrac{1,424}{M}. Substituindo: K_b = \frac{\left(2,6303\times10^{-3}\right)^2}{\dfrac{1,424}{M} - 2,6303\times10^{-3}}.
  • A expressão do Passo 4 é K_b = \frac{0,11836}{M}.
  • Igualando as duas expressões para K_b: \frac{\left(2,6303\times10^{-3}\right)^2}{\dfrac{1,424}{M} - 2,6303\times10^{-3}} = \frac{0,11836}{M}.Vou manipular algebricamente para obter um polinômio em M. Multiplicando ambos os lados pelo denominador \left(\dfrac{1,424}{M} - 2,6303\times10^{-3}\right) e por M: M\left(2,6303\times10^{-3}\right)^2 = 0,11836\left(\dfrac{1,424}{M} - 2,6303\times10^{-3}\right).Multiplicando ambos os lados por M para eliminar frações: M^2\left(2,6303\times10^{-3}\right)^2 = 0,11836\left(1,424 - 2,6303\times10^{-3}M\right).Agora insiro os valores numéricos: \left(2,6303\times10^{-3}\right)^2 = 6,9172\times10^{-6}\\ (\text{aprox.}),de modo que 6,9172\times10^{-6}\,M^2 = 0,16858 - 0,00031156\,M.Reorganizando para obter uma equação quadrática padrão: 6,9172\times10^{-6}\,M^2 + 0,00031156\,M - 0,16858 = 0.(Multipliquei e arredondei coeficientes convenientemente para cálculo manual.)

Passo 6

Resolver a quadrática para M.
  • Para facilitar cálculos sem perder a precisão, multiplico toda a equação por 10^{6}: 6,9172\,M^2 + 311,56\,M - 168580 \approx 0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara: M = \frac{-311,56 \pm \sqrt{311,56^2 - 4\cdot 6,9172 \cdot(-168580)}}{2\cdot 6,9172}.Calcule o discriminante: \Delta = 311,56^2 + 4\cdot 6,9172 \cdot 168580 \approx 4{,}761{,}337{,}07.Portanto \sqrt{\Delta} \approx 2{,}182{,}049.
  • Tomando a raiz positiva (massa molar deve ser positiva): M \approx \frac{-311,56 + 2182,049}{13,8344} \approx \frac{1870,489}{13,8344} \approx 135,18\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 7

Calcular K_b e pK_b usando o valor de M encontrado.
  • Usando a fórmula obtida no Passo 4: K_b = \frac{0,11836}{M} = \frac{0,11836}{135,18} \approx 8,75\times10^{-4}.
  • Então pK_b = -\log_{10}(K_b) \approx -\log_{10}\left(8,75\times10^{-4}\right) \approx 3,06.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (opcional, para ficar mais seguro).
  • Podemos checar aproximadamente com um dos pontos parciais de titulação usando a forma de Henderson–Hasselbalch para pares \mathrm{BH^+}/\mathrm{B}. Para exemplo, após 9,45\\ \mathrm{mL} de HCl:
    • n_{\mathrm{HCl}}=0,01000\times 0,00945 = 9,45\times10^{-5}\\ \mathrm{mol}.
    • n_{\text{base initial}} = 0,0356/M \approx 2,634\times10^{-4}\\ \mathrm{mol} (com M=135,18).
    • Então mols restantes de B: n_B \approx 2,634\times10^{-4} - 9,45\times10^{-5} = 1,689\times10^{-4}.
    • Mols de \mathrm{BH^+} formados: 9,45\times10^{-5}.
    • Razão [\mathrm{BH^+}]/[B] \approx 9,45\times10^{-5}/1,689\times10^{-4}\approx 0,56.
    • pOH medido é 14,00-11,02=2,98. Pela relação pOH = pK_b + \log\frac{[\mathrm{BH^+}]}{[B]},teríamos pK_b \approx pOH - \log(0,56) \approx 2,98 - (-0,252)\approx 3,23.
    • Esse valor difere um pouco do pK_b calculado antes ( \approx 3,06). A diferença pode vir de pequenas aproximações (arredondamentos, efeitos de força iônica, suposições de que a contribuição da autoionização da água é desprezível, ou erro experimental). Mas a ordem de grandeza e a estimativa permanecem compatíveis. O cálculo principal acima (baseado em pH inicial e pH no ponto de equivalência) é o método mais direto e habitual para estimar M e pK_b.

Resposta

Massa molar M \approx 135,18\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}
pK_b \approx 3,06

Exercícios relacionados