Considerando X uma v.a. que representa a duração em centenas de horas de um certo componente eléctrico e em que a sua função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x & , & 0 \leq x \leq 10 \\\\ 0 & , & \text { caso contráario } \end{array}\right.
a) Determine, justificando, o valor de a.
b) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X}>5).
c) Calcule \mathrm{E}[\mathrm{X}] e \mathrm{V}[\mathrm{X}]. \mathrm{R}=1 / 50 ; 3 / 4 ; \mathrm{E}[\mathrm{X}]=20 / 3, \mathrm{~V}[\mathrm{X}]=50 / 9.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória contínua X (duração em centenas de horas) com função densidade
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x & , & 0 \leq x \leq 10 \\\\ 0 & , & \text{caso contrário} \end{array}\right.á
As perguntas são:
(a) Determine, justificando, o valor de a.
(b) Calcule \mathrm{P}(X>5).
(c) Calcule \mathrm{E}[X] e \mathrm{V}[X].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A densidade é zero fora do intervalo [0,10].
No intervalo [0,10] a densidade é f(x)=a x, com a constante desconhecida.
Precisaremos usar integrais para normalização, probabilidades, esperança e momentos.
Passo 2
Conceito importante: uma função f(x) é densidade de probabilidade contínua se e somente se:
f(x)\ge 0 para todo x. (Aqui isso vale se a\ge 0.)
A integral de f sobre todo o eixo é 1, ou seja a probabilidade total é 1.
Matematicamente, a condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,10], isso vira
\int_{0}^{10} a x \,dx = 1.
Passo 3
Calcule a integral para encontrar a. Primeiro, use a fórmula básica de integral de potência:
para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui integrando x (que é x^{1}) obtemos \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int_{0}^{10} a x \,dx = a \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{10} = a\cdot\frac{10^{2}}{2} = a\cdot 50.
Interpretando a parte (b): \mathrm{P}(X>5) é a probabilidade de X cair no intervalo (5,10] (porque fora de [0,10] a densidade é zero). Para variáveis contínuas usamos integrais:
\mathrm{P}(X>5)=\int_{5}^{10} f(x)\,dx = \int_{5}^{10} a x \,dx.
Agora substituímos a=\tfrac{1}{50}.
Passo 5
Calcule a integral:
\int_{5}^{10} a x \,dx = a\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{5}^{10} = a\cdot\frac{10^{2}-5^{2}}{2} = a\cdot\frac{100-25}{2} = a\cdot\frac{75}{2}.