Considerando X uma v.a. que representa a duração em centenas de horas de um certo componente eléctrico e em que a sua função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x & , & 0 \leq x \leq 10 \\\\ 0 & , & \text { caso contráario } \end{array}\right.á
a) Determine, justificando, o valor de a.
b) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X}>5).
c) Calcule \mathrm{E}[\mathrm{X}] e \mathrm{V}[\mathrm{X}].
\mathrm{R}=1 / 50 ; 3 / 4 ; \mathrm{E}[\mathrm{X}]=20 / 3, \mathrm{~V}[\mathrm{X}]=50 / 9.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X (duração em centenas de horas) com função densidade
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x & , & 0 \leq x \leq 10 \\\\ 0 & , & \text{caso contrário} \end{array}\right.á
As perguntas são:
  1. (a) Determine, justificando, o valor de a.
  2. (b) Calcule \mathrm{P}(X>5).
  3. (c) Calcule \mathrm{E}[X] e \mathrm{V}[X].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é zero fora do intervalo [0,10].
  • No intervalo [0,10] a densidade é f(x)=a x, com a constante desconhecida.
  • Precisaremos usar integrais para normalização, probabilidades, esperança e momentos.

Passo 2

Conceito importante: uma função f(x) é densidade de probabilidade contínua se e somente se:
  1. f(x)\ge 0 para todo x. (Aqui isso vale se a\ge 0.)
  2. A integral de f sobre todo o eixo é 1, ou seja a probabilidade total é 1.
Matematicamente, a condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,10], isso vira
\int_{0}^{10} a x \,dx = 1.

Passo 3

Calcule a integral para encontrar a. Primeiro, use a fórmula básica de integral de potência:
para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui integrando x (que é x^{1}) obtemos \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int_{0}^{10} a x \,dx = a \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{10} = a\cdot\frac{10^{2}}{2} = a\cdot 50.
Impondo que isso valha 1,
a\cdot 50 = 1 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{50}.

Passo 4

Interpretando a parte (b): \mathrm{P}(X>5) é a probabilidade de X cair no intervalo (5,10] (porque fora de [0,10] a densidade é zero). Para variáveis contínuas usamos integrais:
\mathrm{P}(X>5)=\int_{5}^{10} f(x)\,dx = \int_{5}^{10} a x \,dx.
Agora substituímos a=\tfrac{1}{50}.

Passo 5

Calcule a integral:
\int_{5}^{10} a x \,dx = a\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{5}^{10} = a\cdot\frac{10^{2}-5^{2}}{2} = a\cdot\frac{100-25}{2} = a\cdot\frac{75}{2}.
Com a=\tfrac{1}{50},
\mathrm{P}(X>5) = \frac{1}{50}\cdot\frac{75}{2} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}.

Passo 6

Agora a parte (c): definição de esperança (valor esperado) para variável contínua:
\mathrm{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Aqui isso reduz a integral em [0,10]:
\mathrm{E}[X]=\int_{0}^{10} x\cdot (a x)\,dx = a\int_{0}^{10} x^{2}\,dx.
Para variância usamos
\mathrm{V}[X]=\mathrm{E}[X^{2}]-\big(\mathrm{E}[X]\big)^{2},
onde
\mathrm{E}[X^{2}] = \int_{0}^{10} x^{2} f(x)\,dx = a\int_{0}^{10} x^{3}\,dx.

Passo 7

Calcule \mathrm{E}[X]. Use a fórmula de integral para x^{2}:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Logo
\int_{0}^{10} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{10} = \frac{10^{3}}{3} = \frac{1000}{3}.
Multiplicando por a=\tfrac{1}{50},
\mathrm{E}[X] = \frac{1}{50}\cdot\frac{1000}{3} = \frac{1000}{150} = \frac{20}{3}.
Observação numérica rápida: \tfrac{20}{3}\approx 6{,}666 (lembrando que X está em centenas de horas).

Passo 8

Calcule \mathrm{E}[X^{2}]. Use a integral de x^{3}:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Então
\int_{0}^{10} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{10} = \frac{10^{4}}{4} = \frac{10000}{4} = 2500.
Multiplicando por a=\tfrac{1}{50},
\mathrm{E}[X^{2}] = \frac{1}{50}\cdot 2500 = 50.

Passo 9

Calcule a variância:
\mathrm{V}[X] = \mathrm{E}[X^{2}] - \big(\mathrm{E}[X]\big)^{2} = 50 - \left(\frac{20}{3}\right)^{2}.
Compute \left(\tfrac{20}{3}\right)^{2} = \tfrac{400}{9}. Colocando em denominador comum:
50 = \frac{450}{9},
portanto
\mathrm{V}[X] = \frac{450}{9} - \frac{400}{9} = \frac{50}{9}.

Resposta

a=\dfrac{1}{50}
\mathrm{P}(X>5)=\dfrac{3}{4}
\mathrm{E}[X]=\dfrac{20}{3}
\mathrm{V}[X]=\dfrac{50}{9}

Exercícios relacionados