A venda média de itens da marca A que um comerciante pode vender em um dia é de 4 itens. Calcule a probabilidade do comerciante vender no máximo 3 itens em 2 dias.

Passo 1

O enunciado diz que a venda média de itens da marca A que um comerciante pode vender em um dia é de 4 itens. A pergunta é: qual é a probabilidade do comerciante vender, no total, no máximo 3 itens em 2 dias?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Média por dia: \,4 itens.
  • Período de interesse: 2 dias.
  • Evento que queremos: vender no máximo 3 itens em 2 dias, isto é, contar 0, 1, 2 ou 3 itens no total.

Passo 2

Como temos médias de contagem por dia e queremos contagem em um intervalo de 2 dias, modelamos o número de vendas por um processo de contagem. A distribuição adequada para contar eventos que ocorrem de forma independente e com taxa média constante é a distribuição de Poisson. Uma propriedade útil (e muito prática) é: se em cada dia a contagem é Poisson com média \lambda_{\text{dia}} e os dias são independentes, então a contagem em 2 dias é Poisson com média \lambda_{2\text{ dias}} = 2\lambda_{\text{dia}}.
Aqui, \lambda_{\text{dia}}=4, logo a média em 2 dias é \lambda=8.

Passo 3

Apresentando a fórmula da distribuição de Poisson e explicando as letras:
A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a contagem de eventos no intervalo considerado (aqui, 2 dias),
  • \lambda é a média (esperança) do número de eventos no intervalo (aqui \lambda=8),
  • k é o número de eventos (aqui k=0,1,2,3,\dots),
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2{,}71828).
    Essa fórmula dá a probabilidade exata de observar exatamente k ocorrências.

Passo 4

Queremos a probabilidade de observar no máximo 3 itens em 2 dias, isto é
P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3} P(X=k)=\sum_{k=0}^{3} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
com \lambda=8. Portanto
P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-8}\frac{8^{k}}{k!}.

Passo 5

Agora vamos calcular termo a termo (vou mostrar os multiplicadores de forma explícita para você poder reproduzir à mão se precisar):
Calcule e^{-8} (aproximação):
e^{-8}\approx 0{,}00033546262790251185.
Termos individuais:
  • Para k=0:
e^{-8}\frac{8^{0}}{0!}=e^{-8}\cdot 1 = 0{,}00033546262790251185.
  • Para k=1:
e^{-8}\frac{8^{1}}{1!}=8e^{-8}=8\cdot 0{,}00033546262790251185 \approx 0{,}0026837010232200948.
  • Para k=2:
e^{-8}\frac{8^{2}}{2!}= \frac{64}{2}e^{-8}=32e^{-8}=32\cdot 0{,}00033546262790251185 \approx 0{,}0107348040928803792.
  • Para k=3:
e^{-8}\frac{8^{3}}{3!}= \frac{512}{6}e^{-8} \approx 85{,}33333333333333\;e^{-8}=85{,}33333333333333\cdot 0{,}00033546262790251185 \approx 0{,}0286261442496810112.

Passo 6

Somando todos os termos para obter P(X\le 3):
P(X\le 3)\approx 0{,}00033546262790251185+0{,}0026837010232200948+0{,}0107348040928803792+0{,}0286261442496810112.
Fazendo a soma:
P(X\le 3)\approx 0{,}0423801119936839969.
Arredondando de forma razoável (4 casas decimais) obtemos P(X\le 3)\approx 0{,}04238.

Resposta

\displaystyle P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}e^{-8}\frac{8^{k}}{k!}\approx 0{,}04238

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