Um novo processo para o tratamento de um material especial deve ser avaliado. O material, uma esfera com raio r0
, encontra-se inicialmente em equilíbrio a
no interior de um forno. O material é repentinamente removido do forno e submetido a um processo de resfriamento em duas etapas.
Etapa 1: Resfriamento no ar a
por um período de tempo ta até que a temperatura do centro atinja um valor crítico
. Para essa situação, o coeficiente de transferência de calor por convecção é ha
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica, a segunda etapa é iniciada.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a
, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de
As propriedades termofísicas do material são
, c
e
.
a) Calcule o tempo ta requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se completar.
b) Calcule o tempo Tb requerido na etapa 2 do processo, para o centro da esfera se resfriar de
para
.
Etapa 1: Resfriamento no ar a
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica, a segunda etapa é iniciada.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a
As propriedades termofísicas do material são
a) Calcule o tempo ta requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se completar.
b) Calcule o tempo Tb requerido na etapa 2 do processo, para o centro da esfera se resfriar de
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera de raio
cuja temperatura inicial é
. Ela é retirada do forno e sofre duas etapas de resfriamento em um fluido externo a
:
- Etapa 1: ar com
até o centro chegar a . - Etapa 2: banho de água com
até o centro cair de para .
As propriedades do material são, , e .
Para resolver usaremos:
- Verificar o número de Biot
. - Se
, aplicar o modelo de capacitância concentrada (temperatura uniforme). - Se
, usar condução transiente em esfera via número de Fourier e gráficos de Heisler (ou primeira aproximação modal).
Passo 2
Etapa 1:
, calcule
logo o perfil interno é praticamente uniforme e vale o modelo lumped. A equação de resfriamento é
com
. Assim
Passo 3
Substituindo valores na etapa 1:
Passo 4
Etapa 2:
, calcule
logo não serve lumped. Definimos a temperatura adimensional no centro
onde
. Queremos
, então
Para esfera com
, usa-se gráfico de Heisler ou a aproximação de primeiro modo. A partir do gráfico chega-se a
,
onde .
onde
Passo 5
Calcule
pela definição de Fourier: