Um novo processo para o tratamento de um material especial deve ser avaliado. O material, uma esfera com raio r0 =5 \mathrm{~mm}, encontra-se inicialmente em equilíbrio a 400^{\circ} \mathrm{C} no interior de um forno. O material é repentinamente removido do forno e submetido a um processo de resfriamento em duas etapas.
Etapa 1: Resfriamento no ar a 20^{\circ} \mathrm{C} por um período de tempo ta até que a temperatura do centro atinja um valor crítico \mathrm{Ta}(0, \mathrm{ta})=335^{\circ} \mathrm{C}. Para essa situação, o coeficiente de transferência de calor por convecção é ha =10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right)
Após a esfera ter atingido essa temperatura crítica, a segunda etapa é iniciada.
Etapa 2: Resfriamento em um banho agitado de água a 20^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de \mathrm{hb}=6000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right)
As propriedades termofísicas do material são \rho=3000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=20 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}), c =1000 \mathrm{~J} /(\mathrm{Kg} . \mathrm{K}) e \alpha=6,66.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
a) Calcule o tempo ta requerido para a etapa 1 do processo de resfriamento se completar.
b) Calcule o tempo Tb requerido na etapa 2 do processo, para o centro da esfera se resfriar de 335^{\circ} \mathrm{C} para 50^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio r_{0}=5\text{ mm} cuja temperatura inicial é T_{i}=400\,^\circ\mathrm{C}. Ela é retirada do forno e sofre duas etapas de resfriamento em um fluido externo a T_{\infty}=20\,^\circ\mathrm{C}:
  • Etapa 1: ar com h_{a}=10\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} até o centro chegar a T_{\mathrm{crit}}=335\,^\circ\mathrm{C}.
  • Etapa 2: banho de água com h_{b}=6000\\ \mathrm{W/(m^{2}K)} até o centro cair de 335\,^\circ\mathrm{C} para 50\,^\circ\mathrm{C}.
    As propriedades do material são \rho=3000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, c=1000\\ \mathrm{J/(kg\,K)}, k=20\\ \mathrm{W/(m\,K)} e \alpha=6{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    Para resolver usaremos:
  1. Verificar o número de Biot \mathrm{Bi}=h\,r_{0}/k.
  2. Se \mathrm{Bi}<0{,}1, aplicar o modelo de capacitância concentrada (temperatura uniforme).
  3. Se \mathrm{Bi}\ge0{,}1, usar condução transiente em esfera via número de Fourier \mathrm{Fo}=\alpha t/r_{0}^{2} e gráficos de Heisler (ou primeira aproximação modal).

Passo 2

Etapa 1: h_{a}=10, calcule
\mathrm{Bi}_{a}=\frac{h_{a}\,r_{0}}{k} =\frac{10\,(0{,}005)}{20}=0{,}0025<0{,}1,
logo o perfil interno é praticamente uniforme e vale o modelo lumped. A equação de resfriamento é
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}} =\exp\!\Bigl(-\frac{h_{a}A}{\rho\,V\,c}\,t\Bigr)
com A/V=3/r_{0}. Assim
t_{a} =\frac{\rho\,c\,r_{0}}{3\,h_{a}}\, \ln\frac{T_{i}-T_{\infty}}{T_{\mathrm{crit}}-T_{\infty}}.

Passo 3

Substituindo valores na etapa 1:
t_{a} =\frac{(3000)(1000)(0{,}005)}{3\cdot10} \ln\frac{400-20}{335-20} =\frac{15000}{30}\,\ln\frac{380}{315} =500\cdot\ln(1{,}20635) \approx500\cdot0{,}1876 \approx93{,}8\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Etapa 2: h_{b}=6000, calcule
\mathrm{Bi}_{b}=\frac{6000\,(0{,}005)}{20}=1{,}5>0{,}1,
logo não serve lumped. Definimos a temperatura adimensional no centro
\theta =\frac{T(0,t)-T_{\infty}}{T_{i2}-T_{\infty}},
onde T_{i2}=335\,^\circ\mathrm{C}. Queremos T(0,t)=50\,^\circ\mathrm{C}, então
\theta =\frac{50-20}{335-20} =\frac{30}{315}\approx0{,}0952.
Para esfera com \mathrm{Bi}=1{,}5, usa-se gráfico de Heisler ou a aproximação de primeiro modo. A partir do gráfico chega-se a \mathrm{Fo}\approx0{,}35,
onde \mathrm{Fo}=\alpha\,t_{b}/r_{0}^{2}.

Passo 5

Calcule t_{b} pela definição de Fourier:
t_{b} =\frac{\mathrm{Fo}\,r_{0}^{2}}{\alpha} =\frac{0{,}35\,(0{,}005)^{2}}{6{,}66\times10^{-6}} =0{,}35\cdot\frac{2{,}5\times10^{-5}}{6{,}66\times10^{-6}} \approx0{,}35\cdot3{,}75 \approx1{,}31\\ \mathrm{s}.

Resposta

t_{a}\approx93{,}8\\ \mathrm{s} t_{b}\approx1{,}3\\ \mathrm{s}

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