Um novo sistema de filtragem alega reduzir o teor médio de partículas para menos de 10 ppm. Em uma amostra de 20 testes, a média foi de 9,2 \mathrm{ppm} com desvio padrão 1,5 . Teste a hipótese \operatorname{com} \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado pede que testemos a alegação de que o novo sistema reduz o teor médio de partículas para menos de 10 ppm, usando nível de significância \alpha=0,05. Dados fornecidos:
n=20,\quad \bar{x}=9{,}2\text{ ppm},\quad s=1{,}5\text{ ppm},\quad \alpha=0{,}05.
A pergunta é: com esses dados, há evidência suficiente para concluir que a média popula-cional \mu é menor que 10 ppm?

Passo 2

Escolha do teste e hipóteses. O enunciado não informou o desvio-padrão populacional \sigma e a amostra tem tamanho pequeno ( n<30), então usamos o teste t para uma amostra. As hipóteses (teste unilateral à esquerda) são:
H_0:\\ \mu=10
H_1:\\ \mu<10
Aqui H_0 é a hipótese nula (não há redução média) e H_1 é a hipótese alternativa (há redução média).

Passo 3

Fórmula da estatística de teste. Usamos a estatística t:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é o valor hipotetizado sob H_0, s é o desvio-padrão amostral e n é o tamanho da amostra. A quantidade s/\sqrt{n} chama-se erro-padrão da média e representa a variabilidade esperada da média amostral em torno da média verdadeira.
Calcule o erro-padrão:
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx 4{,}4721,
\text{erro-padrão}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}5}{\sqrt{20}}\approx\frac{1{,}5}{4{,}4721}\approx 0{,}3354.ã
Agora a estatística t:
t=\frac{9{,}2-10}{0{,}3354}=\frac{-0{,}8}{0{,}3354}\approx -2{,}385.
Expliquei cada passo numérico para você poder refazer rápido na prova: primeiro calcula \sqrt{n}, depois divide s por esse valor para obter o erro-padrão; por fim plug-in na fórmula do t.

Passo 4

Grau de liberdade e região crítica. Para o teste t usamos \mathrm{df}=n-1=19. Como o teste é unilateral à esquerda e \alpha=0{,}05, o ponto crítico é
t_{\text{crítico}}=t_{\alpha,\,\mathrm{df}}=t_{0{,}05,\,19}.í
Pelas tabelas de Student, t_{0{,}95,\,19}\approx 1{,}729; como queremos a cauda esquerda, o valor crítico é -1{,}729. A regra de decisão:
  • se t \le -1{,}729, rejeitamos H_0;
  • se t>-1{,}729, não rejeitamos H_0.
Comparando:
t\approx -2{,}385 \le -1{,}729,
logo a estatística cai na região crítica e rejeitamos H_0.

Passo 5

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação. O p-valor é P(T_{19}\le t_{\text{obs}}) para t_{\text{obs}}=-2{,}385. Pela tabela/uso de software, obtemos
\text{p-valor}\approx 0{,}014\\ \text{(uma cauda)}.
Como \text{p-valor}<\alpha (ou seja 0{,}014<0{,}05), isso confirma a decisão de rejeitar H_0.
Em palavras: há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que o sistema reduz a média do teor de partículas para menos de 10 ppm.

Passo 6

Condições e observações práticas. O teste t pressupõe que a população seja aproximadamente normal ou que a amostra seja suficientemente grande. Com n=20 a normalidade é importante; se não houver fortes assimetrias ou outliers, o resultado é confiável. Na prova, se te perguntarem, diga que assumimos normalidade ou que faríamos um gráfico (histograma/boxplot) para checar.

Resposta

t\approx -2{,}385; \text{p-valor}\approx 0{,}014; Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05 — há evidência de que a média é menor que 10 ppm.

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