Um novo sistema de filtragem alega reduzir o teor médio de partículas para menos de 10 ppm. Em uma amostra de 20 testes, a média foi de
com desvio padrão 1,5 . Teste a hipótese
.
Passo 1
O enunciado pede que testemos a alegação de que o novo sistema reduz o teor médio de partículas para menos de 10 ppm, usando nível de significância
. Dados fornecidos:
A pergunta é: com esses dados, há evidência suficiente para concluir que a média popula-cional
é menor que
ppm?
Passo 2
Escolha do teste e hipóteses. O enunciado não informou o desvio-padrão populacional
e a amostra tem tamanho pequeno (
), então usamos o teste t para uma amostra. As hipóteses (teste unilateral à esquerda) são:
Aqui
é a hipótese nula (não há redução média) e
é a hipótese alternativa (há redução média).
Passo 3
Fórmula da estatística de teste. Usamos a estatística t:
onde
é a média amostral,
é o valor hipotetizado sob
,
é o desvio-padrão amostral e
é o tamanho da amostra. A quantidade
chama-se erro-padrão da média e representa a variabilidade esperada da média amostral em torno da média verdadeira.
Calcule o erro-padrão:
Agora a estatística t:
Expliquei cada passo numérico para você poder refazer rápido na prova: primeiro calcula
, depois divide
por esse valor para obter o erro-padrão; por fim plug-in na fórmula do t.
Passo 4
Grau de liberdade e região crítica. Para o teste t usamos
. Como o teste é unilateral à esquerda e
, o ponto crítico é
Pelas tabelas de Student,
; como queremos a cauda esquerda, o valor crítico é
. A regra de decisão:
- se
, rejeitamos ; - se
, não rejeitamos .
Comparando:
logo a estatística cai na região crítica e rejeitamos
.
Passo 5
Cálculo aproximado do p-valor e interpretação. O p-valor é
para
. Pela tabela/uso de software, obtemos
Como
(ou seja
), isso confirma a decisão de rejeitar
.
Em palavras: há evidência estatística, ao nível de
, de que o sistema reduz a média do teor de partículas para menos de
ppm.
Passo 6
Condições e observações práticas. O teste t pressupõe que a população seja aproximadamente normal ou que a amostra seja suficientemente grande. Com
a normalidade é importante; se não houver fortes assimetrias ou outliers, o resultado é confiável. Na prova, se te perguntarem, diga que assumimos normalidade ou que faríamos um gráfico (histograma/boxplot) para checar.