A profundidade média de furação em um processo é historicamente 10 mm . Uma nova medição de 36 peças apresentou média de 9,6 \mathrm{~mm} e desvio padrão populacional conhecido de 1,2 \mathrm{~mm}. Verifique a hipótese a 1 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que verifiquemos a hipótese ao nível de significância de 1\%:
  • A profundidade média histórica é \mu_0 = 10 mm.
  • Foi feita uma nova amostra com n = 36 peças.
  • A média amostral observada é \bar{x} = 9,6 mm.
  • O desvio padrão populacional é conhecido e vale \sigma = 1,2 mm.
  • Nível de significância: \alpha = 0,01.
O pedido é “verificar a hipótese” — isto é, decidir se a nova amostra traz evidência suficiente para rejeitar a hipótese de média histórica \mu=10 ao nível de 1\%.

Passo 2

Qual método usar? Aqui explico e escolho o método adequado (sem jargões complicados):
  • Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, usamos o teste baseado na distribuição normal padrão (teste z).
  • Além disso, com n=36 (que é grande), a aproximação normal é boa.
Portanto vamos usar o teste z. Também é preciso escolher a hipótese alternativa. Há duas interpretações possíveis:
  • Teste bilateral (mais comum quando o enunciado só diz “verifique a hipótese”): H_0:\mu=10\qquad H_1:\mu\neq 10.
  • Teste unilateral (se o interesse for especificamente saber se a média diminuiu): H_0:\mu=10\qquad H_1:\mu<10.
Vou resolver primeiro o caso bilateral (padrão) e em seguida mostro rapidamente o caso unilateral para quem quiser saber se houve diminuição.

Passo 3

Fórmula do estatístico de teste e significado das letras — explicando passo a passo:
O estatístico z é dado por
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Cada símbolo significa:
  • \bar{x}: média amostral (aqui \bar{x}=9,6).
  • \mu_0: média sob a hipótese nula (aqui \mu_0=10).
  • \sigma: desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=1,2).
  • n: tamanho da amostra (aqui n=36).
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma oscilar).
Calculemos o erro padrão:
\text{erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1,2}{\sqrt{36}}=\frac{1,2}{6}=0,2.ã
Agora o z:
z=\frac{9,6-10}{0,2}=\frac{-0,4}{0,2}=-2{,}0.

Passo 4

Decisão pelo método do valor crítico (teste bilateral):
  • Para nível \alpha=0{,}01 no teste bilateral, dividimos \alpha em duas caudas: \alpha/2=0{,}005.
  • O valor crítico de z que deixa probabilidade 0{,}005 na cauda superior é aproximadamente z_{0{,}995}=2{,}5758. Logo os valores críticos são \pm 2{,}5758.
  • Regra: rejeitar H_0 se |z|>2{,}5758.
Comparando: |z|=2{,}0 e 2{,}0<2{,}5758. Portanto, pelo critério do valor crítico, NÃO rejeitamos H_0 ao nível de 1\% no teste bilateral.

Passo 5

Decisão pelo teste unilateral (caso se queira testar especificamente diminuição):
  • Para H_1:\mu<10 e \alpha=0{,}01, o valor crítico é z_\alpha = z_{0{,}01}\approx -2{,}3263.
  • Rejeitamos H_0 se z < -2{,}3263.
Aqui temos z=-2{,}0, que não é menor que -2{,}3263. Portanto, no teste unilateral de diminuição, também NÃO rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.

Passo 6

Cálculo do valor-p (para entender quão forte é a evidência):
  • Para o valor de z=-2{,}0, a probabilidade de observar um valor tão extremo ou mais extremo:
    • Unilateral (à esquerda): p_{\text{unilateral}} = P(Z\le -2{,}0). Consultando tabela da normal ou calculadora, P(Z\le -2{,}0)\approx 0{,}0228.
    • Bilateral: p_{\text{bilateral}} = 2\cdot P(Z\le -2{,}0)\approx 2\cdot 0{,}0228=0{,}0456.
Comparando com \alpha=0{,}01:
  • p_{\text{bilateral}}\approx 0{,}0456 > 0{,}01 → não rejeita H_0 no teste bilateral.
  • p_{\text{unilateral}}\approx 0{,}0228 > 0{,}01 → não rejeita H_0 no teste unilateral.

Passo 7

Interpretação em linguagem simples e conclusão prática:
  • Resultado: embora a média amostral 9,6 seja menor que 10, a diferença não é suficientemente grande para concluir, ao nível de confiança de 99\% (significância 1\%), que a média verdadeira mudou ou diminuiu.
  • Em outras palavras: há evidência fraca (p≈0,0456 no teste bilateral) mas não forte o suficiente para rejeitar a média histórica quando exigimos uma prova bem rigorosa ( \alpha=0{,}01). Se o professor aceitasse \alpha=0{,}05, aí sim rejeitaríamos no teste bilateral (pois 0{,}0456<0{,}05) — só estou comentando para dar contexto, sem mudar sua exigência de 1\%.
Força: você já fez a parte difícil — calcular o erro padrão, o z e comparar com a tabela. Fácil de reproduzir na prova!

Resposta

Teste bilateral ( H_1:\mu\neq 10): não rejeitar H_0 ao nível de 1\%; z=-2{,}0, valor crítico \pm 2{,}5758, p\approx 0{,}0456.\nTeste unilateral de diminuição ( H_1:\mu<10): não rejeitar H_0 ao nível de 1\%; z=-2{,}0, valor crítico -2{,}3263, p\approx 0{,}0228.

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