A profundidade média de furação em um processo é historicamente 10 mm . Uma nova medição de 36 peças apresentou média de
e desvio padrão populacional conhecido de
. Verifique a hipótese a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que verifiquemos a hipótese ao nível de significância de
:
- A profundidade média histórica é
mm. - Foi feita uma nova amostra com
peças. - A média amostral observada é
mm. - O desvio padrão populacional é conhecido e vale
mm. - Nível de significância:
.
O pedido é “verificar a hipótese” — isto é, decidir se a nova amostra traz evidência suficiente para rejeitar a hipótese de média histórica
ao nível de
.
Passo 2
Qual método usar? Aqui explico e escolho o método adequado (sem jargões complicados):
- Quando o desvio padrão populacional
é conhecido, usamos o teste baseado na distribuição normal padrão (teste ). - Além disso, com
(que é grande), a aproximação normal é boa.
Portanto vamos usar o teste
. Também é preciso escolher a hipótese alternativa. Há duas interpretações possíveis:
- Teste bilateral (mais comum quando o enunciado só diz “verifique a hipótese”):
- Teste unilateral (se o interesse for especificamente saber se a média diminuiu):
Vou resolver primeiro o caso bilateral (padrão) e em seguida mostro rapidamente o caso unilateral para quem quiser saber se houve diminuição.
Passo 3
Fórmula do estatístico de teste e significado das letras — explicando passo a passo:
O estatístico
é dado por
Cada símbolo significa:
-
: média amostral (aqui ). -
: média sob a hipótese nula (aqui ). -
: desvio padrão populacional conhecido (aqui ). -
: tamanho da amostra (aqui ). -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma oscilar).
Calculemos o erro padrão:
Agora o
:
Passo 4
Decisão pelo método do valor crítico (teste bilateral):
- Para nível
no teste bilateral, dividimos em duas caudas: . - O valor crítico de z que deixa probabilidade
na cauda superior é aproximadamente . Logo os valores críticos são . - Regra: rejeitar
se .
Comparando:
e
. Portanto, pelo critério do valor crítico, NÃO rejeitamos
ao nível de
no teste bilateral.
Passo 5
Decisão pelo teste unilateral (caso se queira testar especificamente diminuição):
- Para
e , o valor crítico é . - Rejeitamos
se .
Aqui temos
, que não é menor que
. Portanto, no teste unilateral de diminuição, também NÃO rejeitamos
ao nível de
.
Passo 6
Cálculo do valor-p (para entender quão forte é a evidência):
- Para o valor de
, a probabilidade de observar um valor tão extremo ou mais extremo: - Unilateral (à esquerda):
. Consultando tabela da normal ou calculadora, . - Bilateral:
.
- Unilateral (à esquerda):
Comparando com
:
-
→ não rejeita no teste bilateral. -
→ não rejeita no teste unilateral.
Passo 7
Interpretação em linguagem simples e conclusão prática:
- Resultado: embora a média amostral
seja menor que , a diferença não é suficientemente grande para concluir, ao nível de confiança de (significância ), que a média verdadeira mudou ou diminuiu. - Em outras palavras: há evidência fraca (p≈0,0456 no teste bilateral) mas não forte o suficiente para rejeitar a média histórica quando exigimos uma prova bem rigorosa (
). Se o professor aceitasse , aí sim rejeitaríamos no teste bilateral (pois ) — só estou comentando para dar contexto, sem mudar sua exigência de .
Força: você já fez a parte difícil — calcular o erro padrão, o
e comparar com a tabela. Fácil de reproduzir na prova!
Resposta
Teste bilateral (
): não rejeitar
ao nível de
;
, valor crítico
,
.\nTeste unilateral de diminuição (
): não rejeitar
ao nível de
;
, valor crítico
,
.