A variância máxima aceitável da espessura de chapas metálicas é
. Uma amostra de 10 chapas apresentou variância 2,0 . Verifique a hipótese a
de significância.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, ao nível de significância de
, se a variância real da espessura das chapas é maior do que a variância máxima aceitável. Informações fornecidas pelo enunciado:
- Variância máxima aceitável (hipóteses nulas em termos do parâmetro):
. - Tamanho da amostra:
. - Variância amostral observada:
. - Nível de significância:
.
A pergunta é: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que a variância é aceitável (isto é, não maior que
)?
Passo 2
Qual teste usar e formulação das hipóteses (explicação didática):
- Quando queremos testar hipóteses sobre a variância de uma população e assumimos que os dados vêm de uma distribuição normal, existe uma estatística conhecida que segue a distribuição qui-quadrado. Essa é a ferramenta padrão para testar variância.
- A estatística de teste é
onde:
-
é o tamanho da amostra, -
é a variância amostral (estimador da variância populacional), -
é o valor da variância sob a hipótese nula, - sob a hipótese nula e assumindo normalidade dos dados,
tem distribuição com graus de liberdade. - Importante: esse resultado depende da suposição de que as observações são aproximadamente normais. Se a normalidade for muito duvidosa, este teste perde validade.
- Como o enunciado fala em “variância máxima aceitável” e a amostra mostrou uma variância maior, o teste é unilateral à direita. Assim as hipóteses são:
Isso significa que rejeitamos
somente se a estatística
for grande o suficiente (cauda direita).
Passo 3
Cálculo da estatística de teste (passo a passo numérico):
- Substituímos os valores na fórmula:
- Primeiro calcule
: - Agora divida por
: - Portanto a estatística observada é
Passo 4
Região crítica e comparação com o valor crítico (explicando como obter o valor crítico):
- Para um teste unilateral à direita com nível
e graus de liberdade, o valor crítico é o quantil . - Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado (ou uma calculadora estatística), obtemos
(Este número vem da tabela de qui-quadrado para 9 graus de liberdade e probabilidade acumulada
.)
- Regra de decisão: rejeitar
se . - Comparação:
é menor que . Logo não alcançamos a região crítica.
Passo 5
Cálculo aproximado do p-valor e interpretação:
- O p-valor é
. - Usando tabela ou calculadora, esse p-valor é aproximadamente
(ou seja, cerca de ). - Interpretação: o p-valor é bem maior que
, o que confirma a decisão anterior: não rejeitamos . - Em linguagem simples: embora a variância amostral
seja numericamente maior que o limite aceitável , com esta amostra de tamanho essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de . Há probabilidade relativamente alta (≈ ) de observar uma estatística tão extrema ou mais apenas por variação amostral quando a variância verdadeira fosse .
Passo 6
Conclusão contextual e observações finais (tom encorajador):
- Concluímos que não há evidência suficiente, ao nível de significância de
, para afirmar que a variância da espessura das chapas excede . - Observação prática: se quiseres mais poder para detectar uma diferença (menor probabilidade de erro tipo II), seria bom aumentar o tamanho da amostra; com mais observações, a mesma diferença entre
e pode tornar-se estatisticamente significativa. - Respira: o cálculo foi este, e tua conclusão está bem embasada. Dá pra praticar mais uns exemplos parecidos para ficar mais seguro na hora da prova!
Resposta
Não rejeita-se
. Não há evidências suficientes a
para afirmar que
. Estatística de teste
, valor crítico
, p-valor
.