A variância máxima aceitável da espessura de chapas metálicas é 1,5 \mathrm{~mm}^{2}. Uma amostra de 10 chapas apresentou variância 2,0 . Verifique a hipótese a 5 \% de significância.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, ao nível de significância de 5\%, se a variância real da espessura das chapas é maior do que a variância máxima aceitável. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Variância máxima aceitável (hipóteses nulas em termos do parâmetro): \sigma_0^2 = 1,5\\ \mathrm{mm}^2.
  • Tamanho da amostra: n = 10.
  • Variância amostral observada: s^2 = 2,0\\ \mathrm{mm}^2.
  • Nível de significância: \alpha = 0,05.
A pergunta é: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que a variância é aceitável (isto é, não maior que 1,5\\ \mathrm{mm}^2)?

Passo 2

Qual teste usar e formulação das hipóteses (explicação didática):
  • Quando queremos testar hipóteses sobre a variância de uma população e assumimos que os dados vêm de uma distribuição normal, existe uma estatística conhecida que segue a distribuição qui-quadrado. Essa é a ferramenta padrão para testar variância.
  • A estatística de teste é
\chi^2 \;=\; \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2},
onde:
  • n é o tamanho da amostra,
  • s^2 é a variância amostral (estimador da variância populacional),
  • \sigma_0^2 é o valor da variância sob a hipótese nula,
  • sob a hipótese nula e assumindo normalidade dos dados, \chi^2 tem distribuição \chi^2 com n-1 graus de liberdade.
  • Importante: esse resultado depende da suposição de que as observações são aproximadamente normais. Se a normalidade for muito duvidosa, este teste perde validade.
  • Como o enunciado fala em “variância máxima aceitável” e a amostra mostrou uma variância maior, o teste é unilateral à direita. Assim as hipóteses são:
H_0: \sigma^2 \le \sigma_0^2 = 1,5
H_1: \sigma^2 > 1,5.
Isso significa que rejeitamos H_0 somente se a estatística \chi^2 for grande o suficiente (cauda direita).

Passo 3

Cálculo da estatística de teste (passo a passo numérico):
  • Substituímos os valores na fórmula:
\chi^2 \;=\; \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2} \;=\; \frac{(10-1)\cdot 2{,}0}{1{,}5}.
  • Primeiro calcule (n-1)\cdot s^2: (10-1)\cdot 2{,}0 = 9\cdot 2{,}0 = 18{,}0.
  • Agora divida por \sigma_0^2: 18{,}0 / 1{,}5 = 12{,}0.
  • Portanto a estatística observada é \chi^2_{\text{obs}} = 12{,}0.

Passo 4

Região crítica e comparação com o valor crítico (explicando como obter o valor crítico):
  • Para um teste unilateral à direita com nível \alpha = 0{,}05 e n-1 = 9 graus de liberdade, o valor crítico é o quantil \chi^2_{1-\alpha;9} = \chi^2_{0{,}95;9}.
  • Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado (ou uma calculadora estatística), obtemos
\chi^2_{0{,}95;9} \approx 16{,}919.
(Este número vem da tabela de qui-quadrado para 9 graus de liberdade e probabilidade acumulada 0{,}95.)
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se \chi^2_{\text{obs}} > 16{,}919.
  • Comparação: \chi^2_{\text{obs}} = 12{,}0 é menor que 16{,}919. Logo não alcançamos a região crítica.

Passo 5

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação:
  • O p-valor é p = P(\chi^2_{9} \ge \chi^2_{\text{obs}}) = P(\chi^2_{9} \ge 12{,}0).
  • Usando tabela ou calculadora, esse p-valor é aproximadamente p \approx 0{,}21 (ou seja, cerca de 21\%).
  • Interpretação: o p-valor é bem maior que \alpha = 0{,}05, o que confirma a decisão anterior: não rejeitamos H_0.
  • Em linguagem simples: embora a variância amostral 2{,}0 seja numericamente maior que o limite aceitável 1{,}5, com esta amostra de tamanho 10 essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de 5\%. Há probabilidade relativamente alta (≈ 21\%) de observar uma estatística tão extrema ou mais apenas por variação amostral quando a variância verdadeira fosse 1{,}5.

Passo 6

Conclusão contextual e observações finais (tom encorajador):
  • Concluímos que não há evidência suficiente, ao nível de significância de 5\%, para afirmar que a variância da espessura das chapas excede 1{,}5\\ \mathrm{mm}^2.
  • Observação prática: se quiseres mais poder para detectar uma diferença (menor probabilidade de erro tipo II), seria bom aumentar o tamanho da amostra; com mais observações, a mesma diferença entre s^2 e \sigma_0^2 pode tornar-se estatisticamente significativa.
  • Respira: o cálculo foi este, e tua conclusão está bem embasada. Dá pra praticar mais uns exemplos parecidos para ficar mais seguro na hora da prova!

Resposta

Não rejeita-se H_0. Não há evidências suficientes a 5\% para afirmar que \sigma^2>1{,}5\\ \mathrm{mm}^2. Estatística de teste \chi^2_{\text{obs}}=12{,}0, valor crítico \chi^2_{0{,}95;9}\approx16{,}919, p-valor \approx0{,}21.

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