Um novo teste de diagnóstico para detectar o vírus HIV é apresentado tendo 95% de change de dar um resultado positivo se o paciente é portador do HIV e 98% de chance de dar um negativo se o paciente não é portador do HIV. Em uma população com prevalência de 1 / 1000 casos de HIV (fração de infectados), qual é a chance de que uma pessoa com teste positivo ter realmente o vírus? (Resp: 0,045)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um teste pro HIV com:
  • Sensibilidade de 95% (ou seja, se a pessoa tem HIV, 95% de chance do teste dar positivo).
  • Especificidade de 98% (ou seja, se a pessoa não tem HIV, 98% de chance do teste dar negativo).
    A prevalência é de 1 em 1000 (0,1%) da população com HIV.
    O que a gente quer: a probabilidade de uma pessoa realmente ter HIV dado que o teste deu positivo.
    Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar montar a fórmula direitinho e substituir os valores.

Passo 2

Definindo os eventos:
  • H = “tem HIV”
  • Hᶜ = “não tem HIV”
    • = “teste positivo”
  • – = “teste negativo”
Do enunciado:
P(+|H) = 0.95 (sensibilidade)
P(–|Hᶜ) = 0.98 (especificidade) ⇒ logo P(+|Hᶜ) = 1 – 0.98 = 0.02
P(H) = 1/1000 = 0.001
P(Hᶜ) = 1 – 0.001 = 0.999

Passo 3

Aplicando o Teorema de Bayes para achar P(H|+):
P(Hmid +) ;=; P(+mid H),P(H)P(+mid H),P(H);+;P(+mid H^c),P(H^c),
Isso faz sentido: numerador = chance de ser infectado e dar positivo; denominador = chance total de dar positivo (infectados que dão positivo + não infectados que dão positivo).

Passo 4

Substituindo os números:
Numerador =
Denominador =
=
=

Passo 5

Agora calculamos:
P(Hmid +) = 0.000950.02093 approx 0.0454,
Em porcentagem, isso dá cerca de 4,54%.

Resposta

A probabilidade de uma pessoa ter realmente HIV dado que o teste deu positivo é aproximadamente (ou 4,5%).

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