Um novo teste de diagnóstico para detectar o vírus HIV é apresentado tendo
de change de dar um resultado positivo se o paciente é portador do HIV e
de chance de dar um negativo se o paciente não é portador do HIV. Em uma população com prevalência de
casos de HIV (fração de infectados), qual é a chance de que uma pessoa com teste positivo ter realmente o vírus? (Resp: 0,045)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um teste pro HIV com:
- Sensibilidade de 95% (ou seja, se a pessoa tem HIV, 95% de chance do teste dar positivo).
- Especificidade de 98% (ou seja, se a pessoa não tem HIV, 98% de chance do teste dar negativo).
A prevalência é de 1 em 1000 (0,1%) da população com HIV.
O que a gente quer: a probabilidade de uma pessoa realmente ter HIV dado que o teste deu positivo.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar montar a fórmula direitinho e substituir os valores.
Passo 2
Definindo os eventos:
- H = “tem HIV”
- Hᶜ = “não tem HIV”
-
- = “teste positivo”
- – = “teste negativo”
Do enunciado:
P(+|H) = 0.95 (sensibilidade)
P(–|Hᶜ) = 0.98 (especificidade) ⇒ logo P(+|Hᶜ) = 1 – 0.98 = 0.02
P(H) = 1/1000 = 0.001
P(Hᶜ) = 1 – 0.001 = 0.999
P(+|H) = 0.95 (sensibilidade)
P(–|Hᶜ) = 0.98 (especificidade) ⇒ logo P(+|Hᶜ) = 1 – 0.98 = 0.02
P(H) = 1/1000 = 0.001
P(Hᶜ) = 1 – 0.001 = 0.999
Passo 3
Aplicando o Teorema de Bayes para achar P(H|+):
Isso faz sentido: numerador = chance de ser infectado e dar positivo; denominador = chance total de dar positivo (infectados que dão positivo + não infectados que dão positivo).
Passo 4
Substituindo os números:
Numerador =
Denominador =
=
=
Numerador =
Denominador =
=
=
Passo 5
Agora calculamos:
Em porcentagem, isso dá cerca de 4,54%.
Resposta
A probabilidade de uma pessoa ter realmente HIV dado que o teste deu positivo é aproximadamente
(ou 4,5%).