Suponha que um fabricante de sorvetes receba 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
F2? (R: 0,231 )

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um fabricante mistura leite de três fazendas:
  • 20% vêm de , 30% de e 50% de .
    Cada fazenda tem uma taxa de adulteração (adição de água):
  • ,
  • ,
  • .
    Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
    Vamos precisar da lei da probabilidade total para achar e depois aplicar Bayes para achar .

Passo 2

Primeiro, definimos eventos e fórmulas:
  • Seja P(A) = P(F1),P(Amid F1);+;P(F2),P(Amid F2);+;P(F3),P(Amid F3) o evento “galão adulterado”.
  • P(F2mid A) = P(F2),P(Amid F2)P(A) é o evento “galão vem da fazenda ”.
A lei da probabilidade total diz:
Já o Teorema de Bayes para achar é:

Passo 3

Calcular P(A) = 0,20cdot0,20 ;+;0,30cdot0,05;+;0,50cdot0,02 = 0,04 ;+;0,015;+;0,01 = 0,065 pela probabilidade total:

Passo 4

Agora aplicamos Bayes para P(F2mid A) = P(F2),P(Amid F2)P(A) = 0,30 times 0,050,065 = 0,0150,065 approx 0,2308 :

Resposta

A probabilidade de o leite adulterado ter vindo de é aproximadamente 0,231.

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