Un núcleo magnético sostiene un flujo de 5 sen 314 t \mathrm{mWb}. Determine el valor medio cuadrático (rms) de la fem inducida en una bobina de 100 vueltas arrolada en el núcleo mediante a) la ley de Faraday y b) la ecuación del transformador. Si la superficie de la sección transversal del núcleo es de 25 \mathrm{~cm}^{2}, ¿cuál es la densidad de flujo efectiva en el núcleo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente os dados que aparecem):
  • Fluxo magnético no núcleo: \varphi(t)=5\sin(314\,t)\\ \mathrm{mWb}.
  • Número de voltas da bobina: N=100.
  • Área da seção transversal do núcleo: A=25\\ \mathrm{cm^{2}}.
O enunciado pede:
a) Determinar o valor médio quadrático (rms) da fem induzida na bobina usando a lei de Faraday.
b) Determinar o mesmo valor rms usando a equação do transformador.
c) Calcular a densidade de fluxo efetiva no núcleo.
Observações numéricas que vamos usar (conversões que tirei dos dados acima):
  • Converter \mathrm{mWb} para \mathrm{Wb}: \Phi_{\max}=5\\ \mathrm{mWb}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{Wb}.
  • Converter área para \mathrm{m^{2}}: A=25\\ \mathrm{cm^{2}}=25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A frequência angular indicada no seno é \omega=314\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Lição rápida de fórmula (lei de Faraday) antes de aplicar: a fem instantânea induzida numa bobina com N voltas por variação do fluxo é dada por
e(t) = -N\,\frac{d\Phi(t)}{dt}.
Aqui:
  • e(t) é a fem instantânea (em volts),
  • N é o número de voltas (sem unidade),
  • \Phi(t) é o fluxo magnético por volta (em weber, \mathrm{Wb}),
  • a derivada \dfrac{d\Phi}{dt} tem unidade \mathrm{Wb/s}, que é equivalente a volt.
Aplicando essa fórmula ao fluxo dado. Primeiro escrevo \Phi(t) em \mathrm{Wb}:
\Phi(t)=\Phi_{\max}\sin(\omega t),\qquad\text{com }\Phi_{\max}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{Wb},\\ \omega=314\\ \mathrm{rad/s}.
Derivando:
\frac{d\Phi}{dt}=\Phi_{\max}\,\omega\cos(\omega t).
Substituindo na lei de Faraday:
e(t)=-N\,\Phi_{\max}\,\omega\cos(\omega t).

Passo 3

Agora cálculo numérico da amplitude da fem. A amplitude (valor máximo) é
E_{\max}=N\,\Phi_{\max}\,\omega.
Substituindo os números:
E_{\max}=100\cdot(5\times10^{-3})\cdot314.
Faço as contas passo a passo:
100\cdot5\times10^{-3}=0{,}5,
0{,}5\cdot314=157.
Logo
E_{\max}=157\\ \mathrm{V}.
A fem instantânea ficou
e(t)=-157\cos(314\,t)\\ \mathrm{V}.

Passo 4

O valor eficaz (rms) de uma senoide cuja amplitude é E_{\max} é
E_{\mathrm{rms}}=\frac{E_{\max}}{\sqrt{2}}.
Portanto
E_{\mathrm{rms}}=\frac{157}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}.
Calculo numérico:
\frac{157}{\sqrt{2}}\approx\frac{157}{1{,}41421356}\approx111{,}0\\ \mathrm{V}.
Isso responde a parte (a) usando a lei de Faraday.

Passo 5

Agora a parte (b), usando a equação do transformador (forma usual): a fem por volta é -\dfrac{d\Phi}{dt}. Para N voltas, a expressão já é a mesma que usamos:
e(t)=-N\frac{d\Phi}{dt}.
Uma forma prática direta para o valor eficaz é escrever
E_{\mathrm{rms}}=N\frac{\omega\Phi_{\max}}{\sqrt{2}}.
Substituindo os valores:
E_{\mathrm{rms}}=100\cdot\frac{314\cdot(5\times10^{-3})}{\sqrt{2}}=\frac{157}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}\approx111{,}0\\ \mathrm{V}.
Portanto os dois métodos dão o mesmo resultado (como era de se esperar), e essa fórmula usada é exatamente a equação do transformador aplicada a fluxo senoidal.

Passo 6

Agora a densidade de fluxo efetiva no núcleo. Definição e aplicação:
  • A densidade de fluxo magnético B(t) é o fluxo por unidade de área:
B(t)=\frac{\Phi(t)}{A}.
A amplitude é
B_{\max}=\frac{\Phi_{\max}}{A}=\frac{5\times10^{-3}}{2{,}5\times10^{-3}}=2\\ \mathrm{T}.
A densidade de fluxo “efetiva” normalmente refere-se ao valor rms para uma grandeza senoidal, ou seja
B_{\mathrm{rms}}=\frac{B_{\max}}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ \mathrm{T}\approx1{,}414\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Breve verificação e interpretação final (para te deixar confiante): a fem rms obtida ( \approx111\\ \mathrm{V}) é consistente com uma variação de fluxo de amplitude 5\\ \mathrm{mWb} a \omega=314\\ \mathrm{rad/s} numa bobina de 100 voltas. A densidade de fluxo máxima 2\\ \mathrm{T} é alta mas ainda coerente com os valores dados; o valor eficaz (rms) de 1{,}414\\ \mathrm{T} é simplesmente 2/\sqrt{2}.

Resposta

a) E_{\mathrm{rms}}=\dfrac{157}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}\approx111{,}0\\ \mathrm{V}
b) E_{\mathrm{rms}}=\dfrac{157}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{V}\approx111{,}0\\ \mathrm{V}
c) B_{\mathrm{rms}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{T}=\sqrt{2}\\ \mathrm{T}\approx1{,}414\\ \mathrm{T}

Exercícios relacionados