O núcleo de um reator de nuclear é feito de elementos de combustível cilíndricas, cada uma composta por uma haste de urânio de raio R e um revestimento de aço inoxidável de espessura desprezível. O reator tem a temperatura uniforme inicialmente T_{\infty}; em seguida, energia interna passa a ser gerada subitamente na gaste como urânio na seguinte taxa volumétrica:
Na qual e_{g, 0} é a geração de energia interna na linha central. A temperatura do líquido de arrefecimento é mantida constante em T_{\infty}. O coeficiente de transferência de calor é muito grande. Formule o problema e escreva as hipóteses adotadas em sua formulação, bem como as condições de contorno adotadas.
Passo 1
O enunciado pede que se formule matematicamente o problema de condução de calor transiente em uma barra cilíndrica (haste de combustível) sujeita a geração volumétrica de energia cuja distribuição radial é
com as condições iniciais e de contorno descritas. Dados e informações relevantes (extraídas do enunciado):
raio da haste: R;
geração volumétrica máxima no centro: e_{g,0} (unidade: potência por volume);
temperatura inicial e do fluido de arrefecimento: T_{\infty};
coeficiente de transferência de calor na superfície: h (o enunciado diz que é “muito grande”);
revestimento de aço inoxidável de espessura desprezível (logo pode-se aplicar a condição de contorno térmica diretamente na superfície r=R);
a energia começa a ser gerada subitamente a partir de t=0 (processo transiente);
assumir que propriedades do material térmico podem ser usadas: massa específica \rho, capacidade térmica c_p e condutividade térmica k (a declarar se são constantes).
O que se precisa formular: a equação governante (PDE), a expressão do termo de geração e_g(r), as condições iniciais e de contorno, e as hipóteses adotadas.
Passo 2
Escrever a equação de balanço de energia (a forma básica e a interpretação de cada termo).
Começando do balanço de energia por unidade de volume: taxa de variação da energia interna por unidade de volume = fluxo de calor entrante por condução + geração volumétrica interna. Em símbolos:
T(r,t): temperatura (K) função do raio e do tempo;
e_g(r): geração volumétrica (W·m^{-3});
R: raio externo da haste (m).
Passo 3
Lista clara e explicada de hipóteses físicas adotadas (justifique por que cada hipótese é razoável e como simplifica a formulação):
simetria azimutal e ausência de variação axial: \partial/\partial\theta=0 e \partial/\partial z=0. Justificativa: haste longa em relação ao raio e condições uniformes ao longo do eixo ⇒ problema 1‑D radial; elimina termos axiais e angulares na equação de calor.
propriedades térmicas constantes: \rho,c_p,k constantes (independentes de T). Justificativa: simplifica equação para forma linear; aceitável se variação de temperatura não for extremamente grande.
revestimento de aço de espessura desprezível e bom contato térmico entre combustível e revestimento: permite aplicar condição de contorno térmica diretamente em r=R.
fluido refrigerante bem misturado e com temperatura mantida constante em T_{\infty} (reserva térmica do circuito): garante condição de contorno conhecida na superfície.
geração volumétrica ligada subitamente em t=0 e depois constante no tempo (perfil espacial fixo dado acima).
despreza-se convecção interna no combustível e radiação entre superfície e fluido (somente condução no combustível + convecção na superfície).
regime continuum e leis clássicas de condução válidas (Fourier) — sem efeitos de microescala.
Observação: o enunciado afirma que o coeficiente h é “muito grande”. Na prática isso permite, em primeira aproximação, tomar a condição de contorno de convecção como limite de contato térmico perfeito (ver passo seguinte).
Passo 4
Condições de contorno e iniciais, com explicação física:
condição de regularidade no eixo r=0 (simetria): o gradiente radial deve ser zero para que não haja singularidade nem fluxo radial no centro:
Aqui o membro esquerdo é o fluxo condutivo saindo da haste e o direito é o fluxo convectivo para o fluido.
condição inicial (antes de ligar a geração, roda em T_{\infty}):
T(r,0)=T_{\infty},\qquad 0\le r\le R.
caso limite quando o enunciado diz h “muito grande”: tomar h\to\infty simplifica a condição de contorno para temperatura fixa (condição de Dirichlet) na superfície:
Essa aproximação é frequentemente usada quando a resistência térmica do filme convectivo é desprezível em relação à resistência interna por condução.
Passo 5
Resumo final da formulação matemática (colocar tudo junto — equação, geração, condições iniciais e de contorno). Esta é a forma a ser resolvida (analiticamente ou numericamente) para T(r,t):
caso limite prático (enunciado: h muito grande) — condição de contorno imposta:
T(R,t)=T_{\infty}.
Condição inicial:
T(r,0)=T_{\infty},\qquad 0\le r\le R.
Comentário final: com essas equações e condições tem‑se um problema bem posedado de condução transiente radial com fonte volumétrica. Se for desejado aproximar ainda mais, pode-se analisar o regime estacionário ( \partial T/\partial t=0 ) ou non‑dimensionar com números adimensionais (Biot, Fourier) para decidir validade das aproximações; mas a formulação acima já é a base para qualquer solução analítica ou numérica.
Resposta
Hipóteses adotadas:
simetria azimutal e ausência de variação axial (\partial/\partial\theta=0,\\ \partial/\partial z=0); problema 1‑D radial;