O núcleo de um reator de nuclear é feito de elementos de combustível cilíndricas, cada uma composta por uma haste de urânio de raio R e um revestimento de aço inoxidável de espessura desprezível. O reator tem a temperatura uniforme inicialmente T_{\infty}; em seguida, energia interna passa a ser gerada subitamente na gaste como urânio na seguinte taxa volumétrica:
\frac{e_{g}}{e_{g, 0}}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}
Na qual e_{g, 0} é a geração de energia interna na linha central. A temperatura do líquido de arrefecimento é mantida constante em T_{\infty}. O coeficiente de transferência de calor é muito grande. Formule o problema e escreva as hipóteses adotadas em sua formulação, bem como as condições de contorno adotadas.

Passo 1

O enunciado pede que se formule matematicamente o problema de condução de calor transiente em uma barra cilíndrica (haste de combustível) sujeita a geração volumétrica de energia cuja distribuição radial é
\frac{e_{g}(r)}{e_{g,0}} = 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2,
com as condições iniciais e de contorno descritas. Dados e informações relevantes (extraídas do enunciado):
  • raio da haste: R;
  • geração volumétrica máxima no centro: e_{g,0} (unidade: potência por volume);
  • temperatura inicial e do fluido de arrefecimento: T_{\infty};
  • coeficiente de transferência de calor na superfície: h (o enunciado diz que é “muito grande”);
  • revestimento de aço inoxidável de espessura desprezível (logo pode-se aplicar a condição de contorno térmica diretamente na superfície r=R);
  • a energia começa a ser gerada subitamente a partir de t=0 (processo transiente);
  • assumir que propriedades do material térmico podem ser usadas: massa específica \rho, capacidade térmica c_p e condutividade térmica k (a declarar se são constantes).
O que se precisa formular: a equação governante (PDE), a expressão do termo de geração e_g(r), as condições iniciais e de contorno, e as hipóteses adotadas.

Passo 2

Escrever a equação de balanço de energia (a forma básica e a interpretação de cada termo).
  • Começando do balanço de energia por unidade de volume: taxa de variação da energia interna por unidade de volume = fluxo de calor entrante por condução + geração volumétrica interna. Em símbolos:
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{q} + e_g(r,t),
onde \mathbf{q} é o fluxo de calor por condução e e_g é a geração volumétrica (potência por volume). Pela lei de Fourier \mathbf{q} = -k\nabla T.
  • Para um problema radial em coordenadas cilíndricas, assumindo dependência apenas em r (simetria axial e azimutal), o operador divergente reduz a:
\nabla\cdot(-k\nabla T) = -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right).
  • Substituindo, a equação de condução transiente unidimensional radial fica:
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right) + e_g(r,t).
  • A geração dada no enunciado (liga-se subitamente em t=0) é independente do tempo após o acionamento, então para t>0:
e_g(r) = e_{g,0}\left[\,1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2\right],\qquad 0\le r\le R.
Aqui cada símbolo significa:
  • \rho: densidade do combustível (kg·m^{-3});
  • c_p: capacidade térmica específica (J·kg{-1}·K{-1});
  • k: condutividade térmica (W·m{-1}·K{-1});
  • T(r,t): temperatura (K) função do raio e do tempo;
  • e_g(r): geração volumétrica (W·m^{-3});
  • R: raio externo da haste (m).

Passo 3

Lista clara e explicada de hipóteses físicas adotadas (justifique por que cada hipótese é razoável e como simplifica a formulação):
  1. simetria azimutal e ausência de variação axial: \partial/\partial\theta=0 e \partial/\partial z=0. Justificativa: haste longa em relação ao raio e condições uniformes ao longo do eixo ⇒ problema 1‑D radial; elimina termos axiais e angulares na equação de calor.
  2. propriedades térmicas constantes: \rho,c_p,k constantes (independentes de T). Justificativa: simplifica equação para forma linear; aceitável se variação de temperatura não for extremamente grande.
  3. revestimento de aço de espessura desprezível e bom contato térmico entre combustível e revestimento: permite aplicar condição de contorno térmica diretamente em r=R.
  4. fluido refrigerante bem misturado e com temperatura mantida constante em T_{\infty} (reserva térmica do circuito): garante condição de contorno conhecida na superfície.
  5. geração volumétrica ligada subitamente em t=0 e depois constante no tempo (perfil espacial fixo dado acima).
  6. despreza-se convecção interna no combustível e radiação entre superfície e fluido (somente condução no combustível + convecção na superfície).
  7. regime continuum e leis clássicas de condução válidas (Fourier) — sem efeitos de microescala.
Observação: o enunciado afirma que o coeficiente h é “muito grande”. Na prática isso permite, em primeira aproximação, tomar a condição de contorno de convecção como limite de contato térmico perfeito (ver passo seguinte).

Passo 4

Condições de contorno e iniciais, com explicação física:
  • condição de regularidade no eixo r=0 (simetria): o gradiente radial deve ser zero para que não haja singularidade nem fluxo radial no centro:
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0,\qquad t>0.
  • condição na superfície r=R: convecção para o fluido com temperatura T_{\infty}:
-k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R} = h\bigl(T(R,t)-T_{\infty}\bigr),\qquad t>0.
Aqui o membro esquerdo é o fluxo condutivo saindo da haste e o direito é o fluxo convectivo para o fluido.
  • condição inicial (antes de ligar a geração, roda em T_{\infty}):
T(r,0)=T_{\infty},\qquad 0\le r\le R.
  • caso limite quando o enunciado diz h “muito grande”: tomar h\to\infty simplifica a condição de contorno para temperatura fixa (condição de Dirichlet) na superfície:
\lim_{h\to\infty} \bigl[ -k\partial_r T(R,t)=h(T(R,t)-T_{\infty})\bigr]\\ \Rightarrow\\ T(R,t)=T_{\infty}.
Essa aproximação é frequentemente usada quando a resistência térmica do filme convectivo é desprezível em relação à resistência interna por condução.

Passo 5

Resumo final da formulação matemática (colocar tudo junto — equação, geração, condições iniciais e de contorno). Esta é a forma a ser resolvida (analiticamente ou numericamente) para T(r,t):
Equação governante (para 0<r<R,\; t>0):
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right) + e_{g,0}\!\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right].
Condição de regularidade no centro (para t>0):
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0.
Condição na superfície (escolher conforme nível de aproximação):
  • caso geral (convecção finita, mais exato):
-k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R} = h\bigl(T(R,t)-T_{\infty}\bigr).
  • caso limite prático (enunciado: h muito grande) — condição de contorno imposta:
T(R,t)=T_{\infty}.
Condição inicial:
T(r,0)=T_{\infty},\qquad 0\le r\le R.
Comentário final: com essas equações e condições tem‑se um problema bem posedado de condução transiente radial com fonte volumétrica. Se for desejado aproximar ainda mais, pode-se analisar o regime estacionário ( \partial T/\partial t=0 ) ou non‑dimensionar com números adimensionais (Biot, Fourier) para decidir validade das aproximações; mas a formulação acima já é a base para qualquer solução analítica ou numérica.

Resposta

Hipóteses adotadas:
  1. simetria azimutal e ausência de variação axial ( \partial/\partial\theta=0,\\ \partial/\partial z=0); problema 1‑D radial;
  2. propriedades térmicas constantes: \rho,c_p,k constantes;
  3. revestimento de aço com espessura desprezível e bom contato térmico => aplicar BC diretamente em r=R;
  4. fluido refrigerante bem misturado com temperatura mantida em T_{\infty};
  5. geração volumétrica ligada subitamente em t=0 e fixa no tempo: e_g(r)=e_{g,0}\bigl[1-(r/R)^2\bigr];
  6. despreza‑se convecção interna no combustível e radiação; aplica‑se condução interna + convecção na superfície.
Formulação matemática (problema de valor inicial e contorno):
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right) + e_{g,0}\!\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right],\quad 0<r<R,\\ t>0.
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0,\quad t>0.
Condição na superfície (escolher uma das formas):
-k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R} = h\bigl(T(R,t)-T_{\infty}\bigr),\quad t>0,
ou, no limite h\to\infty (aproximação do enunciado),
T(R,t)=T_{\infty},\quad t>0.
T(r,0)=T_{\infty},\quad 0\le r\le R.

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