Uma moeda viciada é lançada sucessivamente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos da moeda até a ocorrência de cara, inclusive. Sabendo que a probabilidade de sair cara é 0,4 , determine a probabilidade de não sair cara em até 4 lançamentos.
a) 0,8704
b) 0,0864
c) 0,216
d) 0,9136
e) 0,1296
a) 0,8704
b) 0,0864
c) 0,216
d) 0,9136
e) 0,1296
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de “não sair cara em até 4 lançamentos” de uma moeda viciada cuja probabilidade de cara é
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- Probabilidade de cara:
. - Probabilidade de coroa (não cara):
. - Queremos a probabilidade de que, nos primeiros 4 lançamentos, não ocorra nenhuma cara (ou seja, todas as 4 saiam coroa).
Passo 2
Definição e ideia-chave (explicando passo a passo como pensar na prova):
- Seja
o número de lançamentos até a primeira cara, inclusive. Essa é a variável geométrica (a versão que conta o lançamento da primeira ocorrência). A fórmula da função de massa de probabilidade é:
onde
é a probabilidade de sucesso (aqui, “cara”).
- A probabilidade de “não sair cara em até 4 lançamentos” significa que nas primeiras 4 tentativas não aparece cara. Em termos de
, isso é (ou seja, a primeira cara acontece apenas no 5º lançamento ou depois). - Uma forma direta e intuitiva: para não sair cara nos 4 primeiros lançamentos é necessário que cada um desses 4 lançamentos dê coroa. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades de coroa em cada lançamento.
Passo 3
Calcular a probabilidade da coroa e aplicar o produto (explicando os números):
- Probabilidade de coroa:
. Escrevendo em TeX: . - Probabilidade de quatro coroas seguidas (todas as 4 sem cara) é:
Agora fazemos as multiplicações de forma bem mastigada:
Passo 4
Outra forma (usando a propriedade da distribuição geométrica) — só pra consolidar a ideia:
- Pelo fato de
, temos
Fatorando
e somando a série geométrica resulta em
, exatamente o mesmo que o produto das quatro coroas. Então a resposta coincidente é
.
Passo 5
Conclusão e escolha da alternativa: a probabilidade de não sair cara em até 4 lançamentos é
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)