Uma moeda viciada é lançada sucessivamente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos da moeda até a ocorrência de cara, inclusive. Sabendo que a probabilidade de sair cara é 0,4 , determine a probabilidade de não sair cara em até 4 lançamentos.
a) 0,8704
b) 0,0864
c) 0,216
d) 0,9136
e) 0,1296

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de “não sair cara em até 4 lançamentos” de uma moeda viciada cuja probabilidade de cara é \,0,4.
Informações dadas e o que se pede:
  • Probabilidade de cara: \,p=0,4.
  • Probabilidade de coroa (não cara): \,1-p.
  • Queremos a probabilidade de que, nos primeiros 4 lançamentos, não ocorra nenhuma cara (ou seja, todas as 4 saiam coroa).

Passo 2

Definição e ideia-chave (explicando passo a passo como pensar na prova):
  • Seja \,X o número de lançamentos até a primeira cara, inclusive. Essa é a variável geométrica (a versão que conta o lançamento da primeira ocorrência). A fórmula da função de massa de probabilidade é:
P(X=k)=(1-p)^{\,k-1}p,\quad k=1,2,3,\dots
onde p é a probabilidade de sucesso (aqui, “cara”).
  • A probabilidade de “não sair cara em até 4 lançamentos” significa que nas primeiras 4 tentativas não aparece cara. Em termos de X, isso é X>4 (ou seja, a primeira cara acontece apenas no 5º lançamento ou depois).
  • Uma forma direta e intuitiva: para não sair cara nos 4 primeiros lançamentos é necessário que cada um desses 4 lançamentos dê coroa. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades de coroa em cada lançamento.

Passo 3

Calcular a probabilidade da coroa e aplicar o produto (explicando os números):
  • Probabilidade de coroa: \,1-p=1-0,4=0,6. Escrevendo em TeX: \,1-p=0,6.
  • Probabilidade de quatro coroas seguidas (todas as 4 sem cara) é:
(1-p)^4 = 0,6^4.
Agora fazemos as multiplicações de forma bem mastigada:
0,6^2 = 0,6 \times 0,6 = 0,36,
0,6^4 = (0,6^2)^2 = 0,36 \times 0,36 = 0,1296.

Passo 4

Outra forma (usando a propriedade da distribuição geométrica) — só pra consolidar a ideia:
  • Pelo fato de P(X=k)=(1-p)^{k-1}p, temos
P(X>4)=\sum_{k=5}^{\infty}P(X=k)=\sum_{k=5}^{\infty}(1-p)^{k-1}p.
Fatorando (1-p)^4 e somando a série geométrica resulta em (1-p)^4, exatamente o mesmo que o produto das quatro coroas. Então a resposta coincidente é (1-p)^4.

Passo 5

Conclusão e escolha da alternativa: a probabilidade de não sair cara em até 4 lançamentos é \,0,1296, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 0,1296

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