No quadriculado
ao lado colocam-se os números de 1 a 25 , um em cada casa, de modo que a soma dos números que aparecem em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. Sabe-se que a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é 104. Qual é o número que aparece na casa central?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei o padrão das casas cinzentas da imagem enviada):
- Um quadrado
é preenchido com os números de a , um em cada casa. - A soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal principal é a mesma (essa soma constante chamarei de
). - A soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é
. - Pede-se o número que aparece na casa central.
Informações extraídas da imagem (peguei estes dados da imagem):
- As casas cinzentas são exatamente as oito posições
. - A casa central é a posição
e está marcada com um ponto de interrogação.
Passo 2
Primeiro vamos achar a constante mágica
(a soma de cada linha). A soma de todos os números de
a
é
Como há
linhas e cada uma soma
, a soma total também é
. Portanto
Conclusão: cada linha, coluna e diagonal soma
.
Passo 3
Agora uma observação importante e útil para quadrados mágicos com os números
a
: os dois números que ocupam posições simétricas em relação ao centro (ou seja, posições opostas por rotação de
) somam sempre o mesmo valor. Como os números usados são exatamente os inteiros
a
, os pares complementares
com
,
com
,
,
com
têm soma
. O único número que fica sem par é o número do centro.
Portanto, nas posições opostas (simétricas em relação ao centro) de um quadrado mágico
preenchido com
, cada par soma
Ou seja, cada par oposto soma
.
(Intuição curta: os
números fora do centro formam
pares complementares que somam
; esses pares ocupam posições opostas ao redor do centro num quadrado mágico.)
Passo 4
Na imagem as casas cinzentas formam exatamente
pares de posições opostas em relação ao centro:
-
com , -
com , -
com , -
com .
Cada um desses pares, por causa do raciocínio do passo anterior, soma
. Logo a soma das oito casas cinzentas é
o que é consistente com o dado do enunciado.
Passo 5
Faltou só achar o número central. Há uma fórmula simples (ou uma dedução rápida) para o elemento central de um quadrado mágico
preenchido com os inteiros
a
: o centro é a média dos extremos, isto é
Outra forma de ver isso, usando
, é notar que
porque na coluna central (que soma
) há
termos e, por simetria, as duas pares acima e abaixo do centro se compensam deixando o centro como média.
Portanto o número na casa central é
.
Resposta
13