No quadriculado 5 \times 5 ao lado colocam-se os números de 1 a 25 , um em cada casa, de modo que a soma dos números que aparecem em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. Sabe-se que a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é 104. Qual é o número que aparece na casa central?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei o padrão das casas cinzentas da imagem enviada):
  • Um quadrado 5 \times 5 é preenchido com os números de 1 a 25, um em cada casa.
  • A soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal principal é a mesma (essa soma constante chamarei de M).
  • A soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é 104.
  • Pede-se o número que aparece na casa central.
Informações extraídas da imagem (peguei estes dados da imagem):
  • As casas cinzentas são exatamente as oito posições (1,2),(1,4),(2,1),(2,5),(4,1),(4,5),(5,2),(5,4).
  • A casa central é a posição (3,3) e está marcada com um ponto de interrogação.

Passo 2

Primeiro vamos achar a constante mágica M (a soma de cada linha). A soma de todos os números de 1 a 25 é
\sum_{k=1}^{25} k = \frac{25\cdot(25+1)}{2} = \frac{25\cdot 26}{2} = 325.
Como há 5 linhas e cada uma soma M, a soma total também é 5M. Portanto
5M = 325 \quad\Rightarrow\quad M = \frac{325}{5} = 65.
Conclusão: cada linha, coluna e diagonal soma \,65.

Passo 3

Agora uma observação importante e útil para quadrados mágicos com os números 1 a 25: os dois números que ocupam posições simétricas em relação ao centro (ou seja, posições opostas por rotação de 180^\circ) somam sempre o mesmo valor. Como os números usados são exatamente os inteiros 1 a 25, os pares complementares 1 com 25, 2 com 24, \ldots, 12 com 14 têm soma 26. O único número que fica sem par é o número do centro.
Portanto, nas posições opostas (simétricas em relação ao centro) de um quadrado mágico 5\times5 preenchido com 1,\dots,25, cada par soma
1+25 = 26,\; 2+24 = 26,\; \ldots
Ou seja, cada par oposto soma 26.
(Intuição curta: os 24 números fora do centro formam 12 pares complementares que somam 26; esses pares ocupam posições opostas ao redor do centro num quadrado mágico.)

Passo 4

Na imagem as casas cinzentas formam exatamente 4 pares de posições opostas em relação ao centro:
  • (1,2) com (5,4),
  • (1,4) com (5,2),
  • (2,1) com (4,5),
  • (2,5) com (4,1).
Cada um desses pares, por causa do raciocínio do passo anterior, soma 26. Logo a soma das oito casas cinzentas é
4 \times 26 = 104,
o que é consistente com o dado do enunciado.

Passo 5

Faltou só achar o número central. Há uma fórmula simples (ou uma dedução rápida) para o elemento central de um quadrado mágico n\times n preenchido com os inteiros 1 a n^2: o centro é a média dos extremos, isto é
\text{centro}=\frac{1+25}{2}=\frac{26}{2}=13.
Outra forma de ver isso, usando M, é notar que
\text{centro} = \frac{M}{5} = \frac{65}{5} = 13,
porque na coluna central (que soma M) há 5 termos e, por simetria, as duas pares acima e abaixo do centro se compensam deixando o centro como média.
Portanto o número na casa central é 13.

Resposta

13

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