Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas sem reposição. Seja X o número de bolas brancas retiradas.
Calcule a esperança e a variância de X.

Passo 1

Então, o problema diz: temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 pretas (total de 10), a gente retira 3 bolas sem repor. Definimos como o número de brancas que saem. O conteúdo aqui é Distribuição Hipergeométrica e a gente vai usar as fórmulas de esperança e variância dessa distribuição pra resolver.

Passo 2

Antes de calcular, bora entender a teoria da hipergeométrica. Se você tem uma população de tamanho E[X] ;=; n,KN com Var(X);=;n;KN;l(1-KNr);N-nN-1 “sucessos” (aqui, bolas brancas) e “fracassos” (bolas pretas), e você amostra sem reposição vezes, a variável de quantos sucessos vêm na amostra tem:
Esperança:
Variância:
A ideia por trás é que, sem reposição, as retiradas não são independentes, então aparece o fator .

Passo 3

Vamos calcular a esperança:
Aqui E[X] ;=; 3 times 410 ;=; 3 times 0,4 ;=; 1,2 , e .

Passo 4

Agora a variância:
  1. Primeiro Var(X) = 3 times 0,4 times 0,6 times 79 = 3 times 0,24 times 79 = 0,72 times 79 = 0,56 e .
  2. e .
  3. Aplicando:

Resposta

Esperança:
Variância:

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