O Teorema do Resto afirma que ao realizar a divisão de um polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x}) pelo binômio \mathrm{ax}+\mathrm{b} é possível obter o valor de seu resto a partir do valor numérico do mesmo, utilizando a solução encontrada ao resolver a raiz de seu divisor.
Sendo \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+2 \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x}+8 e \mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+2, o resto obtido ao final desta divisão será:
A) um positivo;
B) um negativo;
C) dois positivos;
D) zero;
E) dois negativos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o resto da divisão do polinômio P(x)=x^{3}+2x^{2}+4x+8 pelo binômio Q(x)=x+2. As opções são:
A) um positivo;
B) um negativo;
C) dois positivos;
D) zero;
E) dois negativos.
Informações dadas: P(x)=x^{3}+2x^{2}+4x+8 e Q(x)=x+2. A pergunta é: qual é o resto obtido nessa divisão (escolher entre A–E)?

Passo 2

Enunciado do Teorema do Resto (explicação didática): se dividimos um polinômio P(x) por um binómio da forma ax+b, o resto da divisão é igual a P(r), onde r é a raiz do divisor ax+b, isto é, a solução da equação ax+b=0.
  • O que significa cada símbolo: a e b são os coeficientes do divisor ax+b.
  • Como encontrar a raiz r: resolve-se ax+b=0, então r=-\dfrac{b}{a}.
  • Por que isso funciona (intuição): se ax+b se anula em x=r, então ao avaliar o polinômio quociente vezes o divisor em x=r esse termo some e sobra apenas o resto; portanto o valor numérico de P em r é exatamente o resto. (Para x-r a forma é a mesma: resto =P(r).)

Passo 3

Identificar a e b no nosso divisor Q(x)=x+2. Aqui a=1 e b=2. Portanto a raiz do divisor é
r=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2.

Passo 4

Pelo Teorema do Resto, o resto R da divisão é R=P(r)=P(-2). Agora substituímos x=-2 em P(x):
P(-2)=(-2)^{3}+2(-2)^{2}+4(-2)+8.

Passo 5

Calculamos termo a termo, mostrando passo a passo:
(-2)^{3}=-8,
2(-2)^{2}=2\cdot 4=8,
4(-2)=-8,
e o termo constante é 8. Somando:
P(-2) = -8 + 8 -8 + 8.

Passo 6

Agrupando e somando os termos:
-8 + 8 = 0,\qquad -8 + 8 = 0,
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P(-2)=0+0=0.
Portanto o resto da divisão é 0. Isso também significa que x+2 é fator de P(x).

Resposta

D) 0

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