Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|z+i|=2

Passo 1

Enunciado: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que |z+i|=2.\n
Informações dadas: a condição |z+i|=2 é a única informação do enunciado.\n
Pergunta: descrever geometricamente (e, se desejar, parametrizar) o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas cartesianas no plano complexo. Seja
z = x + i y,
onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z. Aqui x,y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calculemos z+i. Substituindo,
z+i = x + i y + i = x + i(y+1).
Ou seja, a parte real de z+i é x e a parte imaginária é y+1.

Passo 4

A condição dada é |z+i|=2. Pelo significado do módulo de um número complexo, temos
|z+i| = \sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}.
Igualando a 2 e elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque ambos os lados são não negativos), obtemos a equação
x^{2}+(y+1)^{2}=4.

Passo 5

Interpretação geométrica: a equação
x^{2}+(y+1)^{2}=4
é a equação cartesiana de uma circunferência no plano (x,y). A forma padrão da equação de uma circunferência é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde (a,b) é o centro e r é o raio. Comparando, vemos que o centro é (0,-1) e o raio é 2.

Passo 6

Outra forma útil de ver o conjunto é por parametrização complexa. Como |z+i|=2 significa que z+i tem módulo 2, podemos escrever
z+i = 2e^{i\theta},\quad \theta\in[0,2\pi).
Isolando z,
z = -i + 2e^{i\theta}.
Esta expressão gera todos os pontos da circunferência quando \theta varia.

Passo 7

Alguns pontos notáveis (pequenas verificações e para ajudar a desenhar):
\theta=0:\quad z=-i+2=2-i\quad\text{(ponto }(2,-1)\text{)},
\theta=\tfrac{\pi}{2}:\quad z=-i+2i=i\quad\text{(ponto }(0,1)\text{)},
\theta=\pi:\quad z=-i-2=-2-i\quad\text{(ponto }(-2,-1)\text{)},
\theta=\tfrac{3\pi}{2}:\quad z=-i-2i=-3i\quad\text{(ponto }(0,-3)\text{)}.
Esses quatro pontos são os extremos horizontal e vertical da circunferência de centro (0,-1) e raio 2.

Passo 8

Como desenhar no plano de Argand-Gauss: marque o centro em (0,-1) (ou seja, na parte real 0 e imaginária -1), e trace uma circunferência de raio 2 ao redor desse ponto. Os pontos listados no passo anterior ajudam a posicionar corretamente a circunferência.

Resposta

Circunferência de centro (0,-1) e raio 2.

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