Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
Enunciado: representar no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos
tais que
.\n
Informações dadas: a condição é a única informação do enunciado.\n
Pergunta: descrever geometricamente (e, se desejar, parametrizar) o conjunto de pontos no plano complexo que satisfazem essa igualdade.
Informações dadas: a condição
Pergunta: descrever geometricamente (e, se desejar, parametrizar) o conjunto de pontos
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas cartesianas no plano complexo. Seja
onde
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
. Aqui
.
Passo 3
Calculemos
. Substituindo,
Ou seja, a parte real de
é
e a parte imaginária é
.
Passo 4
A condição dada é
. Pelo significado do módulo de um número complexo, temos
Igualando a
e elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque ambos os lados são não negativos), obtemos a equação
Passo 5
Interpretação geométrica: a equação
é a equação cartesiana de uma circunferência no plano
. A forma padrão da equação de uma circunferência é
onde
é o centro e
é o raio. Comparando, vemos que o centro é
e o raio é
.
Passo 6
Outra forma útil de ver o conjunto é por parametrização complexa. Como
significa que
tem módulo
, podemos escrever
Isolando
,
Esta expressão gera todos os pontos da circunferência quando
varia.
Passo 7
Alguns pontos notáveis (pequenas verificações e para ajudar a desenhar):
Esses quatro pontos são os extremos horizontal e vertical da circunferência de centro
e raio
.
Passo 8
Como desenhar no plano de Argand-Gauss: marque o centro em
(ou seja, na parte real
e imaginária
), e trace uma circunferência de raio
ao redor desse ponto. Os pontos listados no passo anterior ajudam a posicionar corretamente a circunferência.
Resposta
Circunferência de centro
e raio
.