Prove que, se
, nessa ordem, estão em P.G., então vale a relação:
.
Passo 1
O enunciado dá que os números
, nessa ordem, estão em P.G. (progressão geométrica) e pede para provar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos estão em progressão geométrica na ordem
. - Precisa-se mostrar a relação algébrica indicada entre
.
Passo 2
Definição e notação: quando quatro termos consecutivos
estão em progressão geométrica, existe um número real chamado razão comum, que vou chamar de
, tal que as razões entre termos consecutivos são iguais. Ou seja,
A partir disso podemos escrever cada termo em função de
e de
:
Aqui
é a razão da P.G.;
pode ser qualquer número real (exceto que se
a P.G. fica degenerada, mas a identidade a ser mostrada permanece válida por continuidade — neste desenvolvimento supondo
fica claro o papel de
).
Passo 3
Calcular o lado esquerdo da identidade usando as expressões em função de
e
. Primeiro fatoro
e
:
Elevando ao quadrado:
Passo 4
Calcular o lado direito da identidade substituindo
,
e
pelas expressões em
e
:
Agora calculo cada termo:
Somando/subtraindo:
Passo 5
Fatorar o polinômio em
no parêntese para compará-lo com o resultado do lado esquerdo:
pois
Portanto
Comparando com o resultado do Passo 3, obtemos exatamente a mesma expressão para os dois lados:
Passo 6
Conclusão e exemplo numérico de verificação: a identidade foi demonstrada usando a representação dos termos de uma P.G. por
e
. Para confirmar com números, escolha por exemplo
e
, então
,
,
. Verificando:
e
confirmação numérica da igualdade.