Prove que, se a, b, c, d, nessa ordem, estão em P.G., então vale a relação: (\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}=\mathrm{ac}+\mathrm{bd}-2 \mathrm{ad}.

Passo 1

O enunciado dá que os números a,\;b,\;c,\;d, nessa ordem, estão em P.G. (progressão geométrica) e pede para provar a igualdade
(b-c)^{2}=ac+bd-2ad.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos estão em progressão geométrica na ordem a,\;b,\;c,\;d.
  • Precisa-se mostrar a relação algébrica indicada entre a,b,c,d.

Passo 2

Definição e notação: quando quatro termos consecutivos a,\;b,\;c,\;d estão em progressão geométrica, existe um número real chamado razão comum, que vou chamar de r, tal que as razões entre termos consecutivos são iguais. Ou seja,
\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=r.
A partir disso podemos escrever cada termo em função de a e de r:
b=ar,\qquad c=ar^{2},\qquad d=ar^{3}.
Aqui r é a razão da P.G.; r pode ser qualquer número real (exceto que se a=0 a P.G. fica degenerada, mas a identidade a ser mostrada permanece válida por continuidade — neste desenvolvimento supondo a\neq0 fica claro o papel de r).

Passo 3

Calcular o lado esquerdo da identidade usando as expressões em função de a e r. Primeiro fatoro b e c:
b-c=ar-ar^{2}=ar(1-r).
Elevando ao quadrado:
(b-c)^{2}=\bigl(ar(1-r)\bigr)^{2}=a^{2}r^{2}(1-r)^{2}.

Passo 4

Calcular o lado direito da identidade substituindo c, b e d pelas expressões em a e r:
ac+bd-2ad = a\cdot(ar^{2}) + (ar)\cdot(ar^{3}) - 2\cdot a\cdot(ar^{3}).
Agora calculo cada termo:
a\cdot(ar^{2})=a^{2}r^{2}, \qquad (ar)\cdot(ar^{3})=a^{2}r^{4}, \qquad 2\cdot a\cdot(ar^{3})=2a^{2}r^{3}.
Somando/subtraindo:
ac+bd-2ad = a^{2}r^{2}+a^{2}r^{4}-2a^{2}r^{3}=a^{2}\bigl(r^{2}+r^{4}-2r^{3}\bigr).

Passo 5

Fatorar o polinômio em r no parêntese para compará-lo com o resultado do lado esquerdo:
r^{2}+r^{4}-2r^{3}=r^{2}\bigl(1+r^{2}-2r\bigr)=r^{2}\bigl(1- r\bigr)^{2},
pois
(1-r)^{2}=1-2r+r^{2}=1+r^{2}-2r.
Portanto
ac+bd-2ad=a^{2}r^{2}(1-r)^{2}.
Comparando com o resultado do Passo 3, obtemos exatamente a mesma expressão para os dois lados:
(b-c)^{2}=a^{2}r^{2}(1-r)^{2}=ac+bd-2ad.

Passo 6

Conclusão e exemplo numérico de verificação: a identidade foi demonstrada usando a representação dos termos de uma P.G. por a e r. Para confirmar com números, escolha por exemplo a=2 e r=3, então b=6, c=18, d=54. Verificando:
(b-c)^{2}=(6-18)^{2}=(-12)^{2}=144
e
ac+bd-2ad=2\cdot18+6\cdot54-2\cdot2\cdot54=36+324-216=144,
confirmação numérica da igualdade.

Resposta

(b-c)^{2}=ac+bd-2ad

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