Um único indivíduo infectado entra em contato com uma comunidade de 500 indivíduos suscetíveis à doença. A doença se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número de pessoas infectadas pelo número de pessoas suscetíveis que ainda não foram infectadas. O tempo que a doença leva para infectar x indivíduos é dado pela função abaixo, onde t é o tempo em horas.
t=5010 cdot integral 1(x+1) cdot(500-x) cdot dx
Determine o tempo necessário para que 75 % da população seja infectada (para t=0, x=1 ). R:

Passo 1

Estamos com um modelo onde a taxa de infecção é proporcional ao produto entre os infectados e os suscetíveis, e o tempo para chegar a x infectados (além do primeiro, por isso aparece x+1) é dado por
t=5010integral1(x+1)(500-x),dx
Queremos o tempo para que 75% da população total seja infectada, sabendo que inicialmente (t=0) temos x+1=1 infectados.

Passo 2

Definimos Y=x+1 como o número total de infectados e a população total N=501. Então dx=dY e susceptibles =N−Y, de modo que a integral vira
t=5010integraldYY(501-Y)

Passo 3

Fazemos frações parciais em 1/[Y(501−Y)]:
1Y(501-Y)=AY+B501-Y
Resolvendo 1=A(501−Y)+B Y obtemos A=B=1/501, logo
1Y(501-Y)=1501l(1Y+1501-Yr)

Passo 4

Integramos em Y:
integral1YdY=ln|Y|, integral1501-YdY=-ln|501-Y|
Assim, fazendo a constante de integração C, temos
t=5010cdot1501l(ln Y-ln(501-Y)r)+C=10l(lntfracY501-Yr)+C

Passo 5

Usamos a condição inicial t=0 quando Y=1 para achar C:
0=10l(lntfrac1500r)+Cimplies C=-10lntfrac1500=10ln500

Passo 6

Logo a solução geral fica
t=10l(lntfracY501-Y+ln500r)=10ln500,Y501-Y

Passo 7

Para 75% de infectados temos Y=0.75\times501 e 501-Y=0.25\times501, daí
$$\frac{500,Y}{501-Y}=500\cdot\frac{0.75}{0.25}=1500,
500,Y501-Y=500cdot0.750.25=1500, t=10\ln1500.$$

Passo 8

Em valores numéricos, ln1500approx7.3133, então
tapprox10times7.3133approx73.13 horas

Resposta

t\approx73{,}13horas

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