Um único indivíduo infectado entra em contato com uma comunidade de 500 indivíduos suscetíveis à doença. A doença se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número de pessoas infectadas pelo número de pessoas suscetíveis que ainda não foram infectadas.
tempo que a doença leva para infectar
indivíduos é dado pela função abaixo, onde t é o tempo em horas.
Determine o tempo necessário para que
da população seja infectada (para
). R:
Determine o tempo necessário para que
Passo 1
Estamos com um modelo onde a taxa de infecção é proporcional ao produto entre os infectados e os suscetíveis, e o tempo para chegar a x infectados (além do primeiro, por isso aparece x+1) é dado por
Queremos o tempo para que 75% da população total seja infectada, sabendo que inicialmente (t=0) temos x+1=1 infectados.
Passo 2
Definimos Y=x+1 como o número total de infectados e a população total N=501. Então dx=dY e susceptibles =N−Y, de modo que a integral vira
Passo 3
Fazemos frações parciais em 1/[Y(501−Y)]:
Resolvendo 1=A(501−Y)+B Y obtemos A=B=1/501, logo
Passo 4
Integramos em Y:
Assim, fazendo a constante de integração C, temos
Passo 5
Usamos a condição inicial t=0 quando Y=1 para achar C:
Passo 6
Logo a solução geral fica
Passo 7
Para 75% de infectados temos Y=0.75\times501 e 501-Y=0.25\times501, daí
$$\frac{500,Y}{501-Y}=500\cdot\frac{0.75}{0.25}=1500,
Passo 8
Em valores numéricos,
, então
Resposta
t\approx73{,}13horas