Um número é divisível por 16 e 37. Determine-o, sabendo que o quociente desse número por 16 excede em 42. unidades o seu quociente por 37 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Existe um número inteiro
que é divisível por e por . Ou seja, tanto quanto são inteiros. - O enunciado diz que o quociente de
por excede em unidades o quociente de por . Em símbolos: o número é igual a mais . - O que se pede: determinar o valor de
.
Passo 2
Defino variáveis para organizar as informações (isso ajuda muito na prova): seja
onde
e
são inteiros (pois
é divisível por
e
). A condição do enunciado fica
Também temos, pelas definições,
Passo 3
Como
tem duas expressões iguais, igualo-as para eliminar
:
Agora substituo
(da relação dada) nessa igualdade:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Passo 4
Calculo
. Faço em etapas para não errar na prova:
Então a equação fica
Passo 5
Isolo
subtraindo
dos dois lados:
Portanto
Agora simplifico a fração:
, logo
Passo 6
Com
encontro
pela relação
:
Agora obtenho
usando
(ou
, deve dar o mesmo):
Faço a multiplicação em partes para ficar claro:
Também confiro com a outra expressão:
portanto consistente.
Passo 7
Breve explicação alternativa (útil na prova): como
e
são primos entre si, o mínimo múltiplo comum é
. Assim qualquer
que seja múltiplo de ambos pode ser escrito
com
inteiro. Repetindo o raciocínio dos quocientes obtemos
, de onde
e
, dando
. Isso mostra que a solução é única neste contexto de inteiros positivos.
Resposta
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