Um número é divisível por 16 e 37. Determine-o, sabendo que o quociente desse número por 16 excede em 42. unidades o seu quociente por 37 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Existe um número inteiro N que é divisível por 16 e por 37. Ou seja, tanto \dfrac{N}{16} quanto \dfrac{N}{37} são inteiros.
  • O enunciado diz que o quociente de N por 16 excede em 42 unidades o quociente de N por 37. Em símbolos: o número \dfrac{N}{16} é igual a \dfrac{N}{37} mais 42.
  • O que se pede: determinar o valor de N.

Passo 2

Defino variáveis para organizar as informações (isso ajuda muito na prova): seja
a=\dfrac{N}{16}\quad\text{e}\quad b=\dfrac{N}{37},
onde a e b são inteiros (pois N é divisível por 16 e 37). A condição do enunciado fica
a = b + 42.
Também temos, pelas definições,
N = 16a \quad\text{e}\quad N = 37b.

Passo 3

Como N tem duas expressões iguais, igualo-as para eliminar N:
16a = 37b.
Agora substituo a=b+42 (da relação dada) nessa igualdade:
16(b+42) = 37b.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
16b + 16\cdot 42 = 37b.

Passo 4

Calculo 16\cdot 42. Faço em etapas para não errar na prova:
16\cdot 42 = 16\cdot(40+2)=16\cdot40 + 16\cdot2 = 640 + 32 = 672.
Então a equação fica
16b + 672 = 37b.

Passo 5

Isolo b subtraindo 16b dos dois lados:
672 = 37b - 16b = 21b.
Portanto
b = \dfrac{672}{21}.
Agora simplifico a fração: 21\cdot 32 = 672, logo
b = 32.

Passo 6

Com b=32 encontro a pela relação a=b+42:
a = 32 + 42 = 74.
Agora obtenho N usando N=37b (ou N=16a, deve dar o mesmo):
N = 37\cdot 32.
Faço a multiplicação em partes para ficar claro:
37\cdot 32 = 37\cdot(30+2)=37\cdot30 + 37\cdot2 = 1110 + 74 = 1184.
Também confiro com a outra expressão:
16\cdot 74 = 16\cdot(70+4)=1120+64=1184,
portanto consistente.

Passo 7

Breve explicação alternativa (útil na prova): como 16 e 37 são primos entre si, o mínimo múltiplo comum é 16\cdot37=592. Assim qualquer N que seja múltiplo de ambos pode ser escrito N=592t com t inteiro. Repetindo o raciocínio dos quocientes obtemos 37t = 16t + 42, de onde 21t=42 e t=2, dando N=592\cdot2=1184. Isso mostra que a solução é única neste contexto de inteiros positivos.

Resposta

1184

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