Ao dividirmos um número N por 34 , obtemos resto igual a 13. Ao adicionarmos 25 unidades a N, qual será o novo resio, se mantivermos o divisor?
Passo 1
O enunciado nos dá uma divisão e pede o resto após adicionarmos 25 a
. Informações fornecidas:
- Ao dividirmos
por obtemos resto . - A pergunta: ao adicionar
unidades a (ou seja, considerar ), qual será o novo resto quando dividirmos por ?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “resto” pela regra da divisão (algoritmo da divisão): existe um inteiro
tal que
onde
é o resto e satisfaz
. Pelo enunciado sabemos que o resto
vale
. Assim podemos escrever explicitamente
para algum inteiro
. Aqui
é o quociente inteiro da divisão de
por
.
Passo 3
Agora somamos
a ambos os lados da igualdade para obter
:
Queremos escrever
na forma
com resto entre
e
.
Passo 4
Observe que
. Substituindo na expressão anterior:
Isso mostra que, ao dividir
por
, o quociente é
e o resto é
, pois
.
Passo 5
Uma forma alternativa, mais curta e muito útil na prova, é usar congruências:
. Então
porque
é múltiplo de
. Logo o novo resto é
.
Passo 6
Para ganhar confiança, veja exemplos concretos (pegar valores de
):
- Se
, então . . Dividindo por dá quociente e resto . - Se
, então . . Dividindo por dá , resto .
Em todos os casos o resto é, como mostrado teoricamente.
Passo 7
Dica rápida para a prova: some os restos (aqui
) e, se passar de
, subtraia
até ficar abaixo de
. Assim
dá o novo resto.