Ao dividirmos um número N por 34 , obtemos resto igual a 13. Ao adicionarmos 25 unidades a N, qual será o novo resio, se mantivermos o divisor?

Passo 1

O enunciado nos dá uma divisão e pede o resto após adicionarmos 25 a N. Informações fornecidas:
  • Ao dividirmos N por 34 obtemos resto 13.
  • A pergunta: ao adicionar 25 unidades a N (ou seja, considerar N+25), qual será o novo resto quando dividirmos por 34?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “resto” pela regra da divisão (algoritmo da divisão): existe um inteiro q tal que
N = 34q + r,
onde r é o resto e satisfaz 0 \le r < 34. Pelo enunciado sabemos que o resto r vale 13. Assim podemos escrever explicitamente
N = 34q + 13,
para algum inteiro q. Aqui q é o quociente inteiro da divisão de N por 34.

Passo 3

Agora somamos 25 a ambos os lados da igualdade para obter N+25:
N+25 = 34q + 13 + 25 = 34q + 38.
Queremos escrever N+25 na forma 34\cdot(\text{algo}) + (\text{resto}) com resto entre 0 e 33.

Passo 4

Observe que 38 = 34 + 4. Substituindo na expressão anterior:
N+25 = 34q + 34 + 4 = 34(q+1) + 4.
Isso mostra que, ao dividir N+25 por 34, o quociente é q+1 e o resto é 4, pois 0 \le 4 < 34.

Passo 5

Uma forma alternativa, mais curta e muito útil na prova, é usar congruências: N \equiv 13 \pmod{34}. Então
N+25 \equiv 13 + 25 \equiv 38 \equiv 4 \pmod{34},
porque 38-4=34 é múltiplo de 34. Logo o novo resto é 4.

Passo 6

Para ganhar confiança, veja exemplos concretos (pegar valores de q):
  • Se q=0, então N=13. N+25=38. Dividindo 38 por 34 dá quociente 1 e resto 4.
  • Se q=1, então N=47. N+25=72. Dividindo 72 por 34 72=34\cdot2+4, resto 4.
    Em todos os casos o resto é 4, como mostrado teoricamente.

Passo 7

Dica rápida para a prova: some os restos (aqui 13+25=38) e, se passar de 34, subtraia 34 até ficar abaixo de 34. Assim 38-34=4 dá o novo resto.

Resposta

4

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