Para um número
Encontre todos os valores de é contínua. Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)= x - x^2, & x >= a, -1 - x, & x < a
e pede os valores de a que tornam g contínua em todo R. O ponto crítico é x=a, pois em xne a cada ramo é um polinômio (logo contínuo).

Passo 2

Para xne a temos continuidade automática, pois
x - x^2
e
-1 - x
são funções polinomiais, contínuas em todos os seus pontos de definição.

Passo 3

Em x=a a condição de continuidade exige
limxto a^-g(x)=limxto a^+g(x)=g(a)
Pela definição de g,
limxto a^-g(x)=-1 - a,
e, como g(a) é calculado pelo ramo x>= a,
g(a)=a - a^2

Passo 4

Igualando as duas expressões para garantir continuidade em x=a:
-1 - a = a - a^2
Reorganizando,
-a^2 + 2a + 1 = 0 Long<=ftrightarrow a^2 - 2a - 1 = 0
As raízes são
a = 2 pm raiz4 + 42 = 1 pm raiz2

Resposta

Os valores de a que tornam g contínua em R são
a = 1 + raiz2 e a = 1 - raiz2

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