Determine uma equação algébrica para y=sen(arctg x). Justifique.

Passo 1

O enunciado nos pede determinar uma equação algébrica para
y = sinl(arctan xr)
O conteúdo envolvido é trigonometria e funções inversas, e vamos usar a interpretação geométrica de arctan x num triângulo retângulo.

Passo 2

Definimos
theta = arctan x
Por definição de arco-tangente, temos tantheta = x com -tfracpi2<theta<tfracpi2. Nosso objetivo é expressar sintheta em termos de tantheta.

Passo 3

Num triângulo retângulo com ângulo theta, a razão
tantheta = cateto opostocateto adjacente
sugere escolher o cateto oposto de comprimento x (com sinal de acordo com theta) e o cateto adjacente de comprimento 1. A hipotenusa vale então
raiz1 + x^2
Portanto, pela definição de seno:
sintheta = cateto opostohipotenusa = xraiz1 + x^2

Passo 4

Como y = sin(arctan x) = sintheta, basta substituir:
y = xraiz1 + x^2

Resposta

y = xraiz1 + x^2

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