( 3,0 ptos) Os efeitos de descargas parciais na degradação de materiais de cavidades isolantes têm importantes implicações na vida útil de componentes de alta voltagem. Consideremos a seguinte amostra de larguras de pulso de descargas lentas em uma cavidade cilíndrica de polietileno. (Esses dados são consistentes com um histograma de 250 observaçǒes no artigo “Assessment of Dielectric Degradation by Ultrawide-band PD Detection,” IEEE Trans. on Dielectrics and Elec. Insul., 1995, p. 744-760.) O autor do artigo nota o impacto de diversas ferramentas estatisticas na interpretação dos dados de descarga.
Dados (largura de pulso, em unidades apropriadas):
5,3 8,2 13,8 74,1 85,3 88,0
90,2 91,5 92,4 92,9 93,6 94,3
94,8 94,9 95,5 95,8 95,9 96,6
96,7 98,1 99,0 101,4 103,7 106,0
113,5
a) Calcular as medidas de tendência central: média, mediana e moda (se houver).
b) Determinar a variância, o desvio padrão e a amplitude amostral.
c) Construir um diagrama de caixa e identificar possíveis outliers.
d) Interpretar os resultados no contexto do problema, considerando a presença de valores extremos e a simetria ou assimetria dos dados.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=25 larguras de pulso e pede medidas de estatística descritiva:
– Tendência central: média, mediana e moda.
– Dispersão: variância amostral, desvio padrão e amplitude.
– Construção do diagrama de caixa (boxplot) e identificação de outliers.
– Interpretação do comportamento dos dados (simetria, presença de extremos).

Passo 2

Para as medidas de tendência central, primeiro ordenamos os dados (já estão em ordem crescente) e calculamos a soma e o posicionamento:
– Soma dos valores:
sumi=1^25 xi = 2121,5
– Média amostral:
barx = 1nsumi=1^nxi = 2121,525 = 84,86
– Mediana (posição n+12=13): o 13.º valor é 94,8, logo
mediana = 94,8
– Moda: não há repetição de valores, logo não existe moda nesta amostra.

Passo 3

Para a dispersão:
– Calculamos sum xi^2 =200887,29 e usamos
s^2 = 1n-1l(sumi=1^n xi^2 - n,barx^2r) = 200887,29 - 25,(84,86)^224approx 868,2
– Desvio padrão amostral:
s = raizs^2approx raiz868,2approx 29,48
– Amplitude amostral:
max(xi)-min(xi)=113,5 - 5,3 =108,2

Passo 4

Para o boxplot, achamos os quartis:
Q1 é a mediana dos 12 menores valores (média dos 6.º e 7.º):
Q1 = 88,0 + 90,22 = 89,1
Q2= mediana =94,8.
Q3 é a mediana dos 12 maiores (média do 6.º e 7.º no grupo superior):
Q3 = 96,7 + 98,12 = 97,4
– IQR (intervalo interquartílico):
IQR = Q3 - Q1 = 97,4 - 89,1 = 8,3
– Limites para outliers:
Limite inferior = Q1 - 1,5cdotIQR = 89,1 - 12,45 = 76,65,
Limite superior = Q3 + 1,5cdotIQR = 97,4 + 12,45 = 109,85
– Valores fora desses limites são outliers. Aqui ficam:
bul<=t Abaixo de 76,65: 5,3,;8,2,;13,8,;74,1.
bul<=t Acima de 109,85: 113,5.

Passo 5

Interpretação:
Os dados têm uma concentração forte em torno de 90 100, mas há poucos valores muito pequenos ( 5,3 a 74,1) que deslocam a média para baixo em relação à mediana. Isso gera assimetria à esquerda (skew negativo). O outlier mais alto ( 113,5) sugere ocorrência rara de pulso muito largo. A mediana e o IQR são estatísticas mais robustas para caracterizar o centro e a dispersão neste caso, pois não são tão afetadas pelos extremos.

Resposta

(a) barx=84,86, mediana =94,8, sem moda.
(b) s^2approx868,2, sapprox29,48, amplitude =108,2.
(c) Q1=89,1, mediana =94,8, Q3=97,4, IQR =8,3. Outliers: abaixo de 76,65 to 5,3, 8,2, 13,8, 74,1; acima de 109,85 to 113,5.
(d) Distribuição assimétrica à esquerda, presença de valores extremos que influenciam a média; recomenda-se usar mediana e IQR para descrição mais robusta.

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