Exercício 2. Sejam A, B e C subconjuntos quaisquer, expresse em notação matemática os conjuntos cujos elementos:
Exemplo: A expressão matemática do conjunto A unido a B é: A cup B=x: x in A ou x in B.
(a) Estão em A e B, mas não em C.
(b) Não estão em nenhum deles.
(c) Estão no máximo em dois deles.
(d) Estão em A, mas no máximo em um dos outros conjuntos.
(e) Estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de A.

Passo 1

O enunciado pede para escrever, em notação matemática (usando interseção, união e complemento), descrições dos seguintes subconjuntos de um universo genérico U:
  • (a) os elementos que estão em A e em B, mas não em C.
  • (b) os elementos que não estão em A, nem em B, nem em C.
  • (c) os elementos que pertencem a no máximo dois dentre A,B,C.
  • (d) os elementos que estão em A e que, de B e C, pertencem a no máximo um.
  • (e) os elementos que estão simultaneamente em Acap Bcap C e no complementar de A.
Para isso vamos usar as operações de conjunto e lógica:
cap (e),
cup (ou),
^c (complemento),
wed>= (e lógico),
vee (ou lógico),
neg (negação).

Passo 2

Para (a) queremos
xin A e xin B,
mas xnotin C.
Em notação de conjunto:
x: xin Awed>= xin Bwed>= xnotin C
ou equivalentemente
Acap Bcap C^c

Passo 3

Para (b) queremos elementos que não estão em nenhum dos três, isto é
neg(xin A),
neg(xin B) e
neg(xin C).
Em notação de conjunto:
x: xnotin Awed>= xnotin Bwed>= xnotin C
ou equivalentemente
(Acup Bcup C)^c

Passo 4

Para (c) “no máximo em dois” significa evitar que o elemento esteja nos três ao mesmo tempo. Logo a condição é
neg(xin Awed>= xin Bwed>= xin C).
Em notação de conjunto:
x: neg(xin Awed>= xin Bwed>= xin C)
ou simplesmente
(Acap Bcap C)^c

Passo 5

Para (d) “estão em A” e “pertencem a no máximo um de B,C” significa
xin Aeneg(xin Bwed>= xin C)
Em notação de conjunto:
x: xin Awed>= neg(xin Bwed>= xin C)
ou
Acap (Bcap C)^c

Passo 6

Para (e) pedem “em Acap Bcap C” e ao mesmo tempo “no complementar de A”. Essa conjunção é impossível, pois exigir xin A e xnotin A ao mesmo tempo não ocorre para nenhum x. Portanto o conjunto é vazio:
x: xin Acap Bcap Cwed>= xnotin A=emptyset

Resposta

(a) x: xin Awed>= xin Bwed>= xnotin C = Acap Bcap C^c
(b) x: xnotin Awed>= xnotin Bwed>= xnotin C = (Acup Bcup C)^c
(c) x: neg(xin Awed>= xin Bwed>= xin C) = (Acap Bcap C)^c
(d) x: xin Awed>= neg(xin Bwed>= xin C) = Acap (Bcap C)^c
(e) emptyset

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