Exercício 2. Sejam
e
subconjuntos quaisquer, expresse em notação matemática os conjuntos cujos elementos:
Exemplo:
expressão matemática do conjunto
unido a
é:
ou
.
(a) Estão em
e
, mas não em
.
(b) Não estão em nenhum deles.
(c) Estão no máximo em dois deles.
(d) Estão em
, mas no máximo em um dos outros conjuntos.
(e) Estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de
.
(a) Estão em
(b) Não estão em nenhum deles.
(c) Estão no máximo em dois deles.
(d) Estão em
(e) Estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de
Passo 1
O enunciado pede para escrever, em notação matemática (usando interseção, união e complemento), descrições dos seguintes subconjuntos de um universo genérico
:
- (a) os elementos que estão em
e em , mas não em . - (b) os elementos que não estão em
, nem em , nem em . - (c) os elementos que pertencem a no máximo dois dentre
. - (d) os elementos que estão em
e que, de e , pertencem a no máximo um. - (e) os elementos que estão simultaneamente em
e no complementar de .
Para isso vamos usar as operações de conjunto e lógica:
(e),
(ou),
(complemento),
(e lógico),
(ou lógico),
(negação).
Passo 2
Para (a) queremos
e
,
mas .
Em notação de conjunto:
mas
Em notação de conjunto:
ou equivalentemente
Passo 3
Para (b) queremos elementos que não estão em nenhum dos três, isto é
,
e
.
Em notação de conjunto:
Em notação de conjunto:
ou equivalentemente
Passo 4
Para (c) “no máximo em dois” significa evitar que o elemento esteja nos três ao mesmo tempo. Logo a condição é
.
Em notação de conjunto:
Em notação de conjunto:
ou simplesmente
Passo 5
Para (d) “estão em
” e “pertencem a no máximo um de
” significa
Em notação de conjunto:
ou
Passo 6
Para (e) pedem “em
” e ao mesmo tempo “no complementar de
”. Essa conjunção é impossível, pois exigir
e
ao mesmo tempo não ocorre para nenhum
. Portanto o conjunto é vazio:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)