- O número que expressa a área total de um cubo, em
, é o mesmo que expressa seu volume, em
. Qual o comprimento, em cm, de cada uma das arestas desse cubo?
a) 9
b) 6
c) 4
d) 2
a) 9
b) 6
c) 4
d) 2
Passo 1
O enunciado diz que o número que expressa a área total de um cubo, em
, é o mesmo que expressa seu volume, em
. Pergunta qual o comprimento, em cm, de cada aresta desse cubo. As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Vamos introduzir uma variável para o comprimento da aresta. Seja
o comprimento de cada aresta do cubo, medido em
. Vou escrever as fórmulas que precisamos:
A área total de um cubo é a soma das áreas das seis faces. Cada face é um quadrado de lado
, então a área de uma face é
. Como há seis faces, a área total
é
O volume de um cubo é dado pelo produto das três arestas (todas iguais), isto é,
Observação importante (esclarecimento didático): o enunciado compara os números que representam
em
e
em
. Mesmo sendo unidades diferentes, o problema pede que os valores numéricos sejam iguais, então podemos simplesmente igualar as expressões numéricas de
e
.
Passo 3
Formulemos a equação que representa a condição do problema — a área total igual ao volume:
Passo 4
Vamos resolver a equação. Primeiro, trazemos tudo para um lado para fatorar:
Agora fatoramos o fator comum
:
Explicando a fatoração: escrevemos
.
Passo 5
Das fatores obtidos, temos duas possibilidades:
-
, que dá . -
, que dá .
Interpretando:
representa comprimento de aresta, então deve ser positivo. Portanto descartamos
(não faria sentido um cubo com aresta zero). A solução válida é
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida para sentir segurança: área total para
é
e o volume é
Os números coincidem, como o enunciado pedia. Então tudo está consistente.
Resposta
b)