1. O número que expressa a área total de um cubo, em \mathrm{cm}^{2}, é o mesmo que expressa seu volume, em \mathrm{cm}^{3}. Qual o comprimento, em cm, de cada uma das arestas desse cubo?
    a) 9
    b) 6
    c) 4
    d) 2

Passo 1

O enunciado diz que o número que expressa a área total de um cubo, em \mathrm{cm}^{2}, é o mesmo que expressa seu volume, em \mathrm{cm}^{3}. Pergunta qual o comprimento, em cm, de cada aresta desse cubo. As alternativas são:
a) \,9
b) \,6
c) \,4
d) \,2

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para o comprimento da aresta. Seja x o comprimento de cada aresta do cubo, medido em \mathrm{cm}. Vou escrever as fórmulas que precisamos:
A área total de um cubo é a soma das áreas das seis faces. Cada face é um quadrado de lado x, então a área de uma face é x^{2}. Como há seis faces, a área total A é
A = 6x^{2}.
O volume de um cubo é dado pelo produto das três arestas (todas iguais), isto é,
V = x^{3}.
Observação importante (esclarecimento didático): o enunciado compara os números que representam A em \mathrm{cm}^{2} e V em \mathrm{cm}^{3}. Mesmo sendo unidades diferentes, o problema pede que os valores numéricos sejam iguais, então podemos simplesmente igualar as expressões numéricas de A e V.

Passo 3

Formulemos a equação que representa a condição do problema — a área total igual ao volume:
6x^{2} = x^{3}.

Passo 4

Vamos resolver a equação. Primeiro, trazemos tudo para um lado para fatorar:
x^{3} - 6x^{2} = 0.
Agora fatoramos o fator comum x^{2}:
x^{2}(x - 6) = 0.
Explicando a fatoração: escrevemos x^{3} - 6x^{2} = x^{2}\cdot x - x^{2}\cdot 6 = x^{2}(x-6).

Passo 5

Das fatores obtidos, temos duas possibilidades:
  1. x^{2} = 0, que dá x = 0.
  2. x - 6 = 0, que dá x = 6.
Interpretando: x representa comprimento de aresta, então deve ser positivo. Portanto descartamos x=0 (não faria sentido um cubo com aresta zero). A solução válida é
x = 6\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida para sentir segurança: área total para x=6 é
6x^{2}=6\cdot 6^{2}=6\cdot 36=216\\ \mathrm{cm}^{2},
e o volume é
x^{3}=6^{3}=216\\ \mathrm{cm}^{3}.
Os números coincidem, como o enunciado pedia. Então tudo está consistente.

Resposta

b) 6

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