- O volume de um cubo cuja diagonal mede 3 é
a) 27
b) 9
c) 6
d)
a) 27
b) 9
c) 6
d)
Passo 1
O enunciado diz: “O volume de um cubo cuja diagonal mede 3 é” e apresenta as alternativas:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes fornecidas:
- A figura é um cubo.
- A diagonal espacial do cubo tem medida
. - Precisamos encontrar o volume do cubo (e escolher a alternativa correta).
Passo 2
Definimos as variáveis que vamos usar:
- Seja
o comprimento da aresta do cubo (o que queremos relacionar com a diagonal). - Seja
a diagonal espacial do cubo. Do enunciado temos .
Nosso objetivo: encontrar
(volume) em função de
, e então substituir
.
Passo 3
Lembrete geométrico importante (aula rápida): em um cubo de aresta
a diagonal espacial pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes. Vou explicar com calma.
- Primeiro, considere a face quadrada do cubo. A diagonal da face (a diagonal do quadrado de lado
) vale
Isso é apenas Pitágoras num triângulo retângulo cujo catetos têm comprimento
.
- Agora, essa diagonal da face e a aresta
formam um triângulo retângulo no espaço cuja hipotenusa é a diagonal espacial . Aplicando Pitágoras novamente:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Da última igualdade obtemos a relação simples entre
e
:
Portanto,
Como o problema dá
, substituímos:
Agora simplificamos
. Uma maneira direta é multiplicar numerador e denominador por
, ou reconhecer que
porque
. Fazendo o passo:
Logo
Passo 5
Agora calculamos o volume do cubo. Fórmula do volume de um cubo (relembre): o volume
é o cubo da aresta:
Substituindo
:
Para entender
, escrevemos como
. Como
, temos
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas:
a) — não bate.
b) — não bate.
c) — não bate.
d) — é exatamente o resultado que encontramos.
a)
b)
c)
d)
Então a alternativa correta é a letra d).
Resposta
d)