1. O volume de um cubo cuja diagonal mede 3 é
    a) 27
    b) 9
    c) 6
    d) 3 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado diz: “O volume de um cubo cuja diagonal mede 3 é” e apresenta as alternativas:
a) 27
b) 9
c) 6
d) 3\sqrt{3}
Informações relevantes fornecidas:
  • A figura é um cubo.
  • A diagonal espacial do cubo tem medida 3.
  • Precisamos encontrar o volume do cubo (e escolher a alternativa correta).

Passo 2

Definimos as variáveis que vamos usar:
  • Seja a o comprimento da aresta do cubo (o que queremos relacionar com a diagonal).
  • Seja d a diagonal espacial do cubo. Do enunciado temos d=3.
Nosso objetivo: encontrar V (volume) em função de d, e então substituir d=3.

Passo 3

Lembrete geométrico importante (aula rápida): em um cubo de aresta a a diagonal espacial pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes. Vou explicar com calma.
  1. Primeiro, considere a face quadrada do cubo. A diagonal da face (a diagonal do quadrado de lado a) vale
\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2}.
Isso é apenas Pitágoras num triângulo retângulo cujo catetos têm comprimento a.
  1. Agora, essa diagonal da face e a aresta a formam um triângulo retângulo no espaço cuja hipotenusa é a diagonal espacial d. Aplicando Pitágoras novamente:
d = \sqrt{(\text{diagonal da face})^2 + a^2} = \sqrt{(\sqrt{2a^2})^2 + a^2}.
Simplificando a expressão:
d = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2}.

Passo 4

Da última igualdade obtemos a relação simples entre d e a:
d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.
Portanto,
a = \frac{d}{\sqrt{3}}.
Como o problema dá d=3, substituímos:
a = \frac{3}{\sqrt{3}}.
Agora simplificamos \frac{3}{\sqrt{3}}. Uma maneira direta é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{3}, ou reconhecer que \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} porque 3 = (\sqrt{3})^2. Fazendo o passo:
\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}.
Logo
a = \sqrt{3}.

Passo 5

Agora calculamos o volume do cubo. Fórmula do volume de um cubo (relembre): o volume V é o cubo da aresta:
V = a^3.
Substituindo a=\sqrt{3}:
V = (\sqrt{3})^3.
Para entender (\sqrt{3})^3, escrevemos como (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}. Como (\sqrt{3})^2 = 3, temos
V = 3\sqrt{3}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas:
a) 27 — não bate.
b) 9 — não bate.
c) 6 — não bate.
d) 3\sqrt{3} — é exatamente o resultado que encontramos.
Então a alternativa correta é a letra d).

Resposta

d) 3\sqrt{3}

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