O número de falhas de hardware (X) e o número de falhas de software (Y) em qualquer dia em certo laboratório de computadores tem a distribuição conjunta f(x, y) com f(0,0)=0.6, f(0,1)=0.1, f(1,0)= 0.1 e f(1,1)=0.2. Baseando-se nesta informação, responda:
a) falhas de hardware e software ( X e Y ) são independentes?
b) qual o valor esperado do número total de falhas em um dia (\mathbf{E}(X+Y)) ?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição conjunta dos números de falhas de hardware X e de software Y em um dia, com as probabilidades:
f(0,0)=0,6,\quad f(0,1)=0,1,\quad f(1,0)=0,1,\quad f(1,1)=0,2.
As perguntas são:
a) X e Y são independentes?
b) Qual é o valor esperado do número total de falhas em um dia, isto é, \mathbf{E}(X+Y)?

Passo 2

Vamos começar encontrando as distribuições marginais de X e de Y. A margem de X é obtida somando f(x,y) sobre todos os valores de y. A margem de Y é obtida somando sobre todos os valores de x. Isso é padrão: a probabilidade de X=x é a soma das probabilidades conjuntas para esse x com todos os y.

Passo 3

Calculemos a margem de X:
P(X=0)=f(0,0)+f(0,1)=0,6+0,1=0,7.
P(X=1)=f(1,0)+f(1,1)=0,1+0,2=0,3.

Passo 4

Calculemos a margem de Y:
P(Y=0)=f(0,0)+f(1,0)=0,6+0,1=0,7.
P(Y=1)=f(0,1)+f(1,1)=0,1+0,2=0,3.

Passo 5

Agora explico o que significa independência e como testá-la: duas variáveis discretas X e Y são independentes se, para todo par (x,y) de valores possíveis,
f(x,y)=P(X=x)\,P(Y=y).
Na prática na prova você calcula as marginais e verifica se o produto dá a probabilidade conjunta para cada combinação. Se alguma combinação falhar, não são independentes.

Passo 6

Apliquemos o teste para uma combinação específica (se uma falhar, já é suficiente). Tomemos (x,y)=(0,0). O produto das marginais é
P(X=0)\,P(Y=0)=0,7\cdot 0,7=0,49.
A probabilidade conjunta dada é f(0,0)=0,6. Como 0,49\neq 0,6, a igualdade exigida para independência falha.

Passo 7

Conclusão sobre independência: como encontramos uma combinação em que
f(0,0)\neq P(X=0)\,P(Y=0),
podemos afirmar que X e Y não são independentes. Não é necessário testar todas as combinações — basta uma contradição.

Passo 8

Agora vamos ao valor esperado do total de falhas. Primeiro eu te explico a propriedade que vamos usar: a expectativa é linear. Ou seja,
\mathbf{E}(X+Y)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y).
Isso vale independentemente de X e Y serem independentes ou não — é uma propriedade geral e muito útil na prova.

Passo 9

Calculemos \mathbf{E}(X). Para uma variável que só assume 0 e 1,
\mathbf{E}(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1).
Já calculámos P(X=1)=0,3, então
\mathbf{E}(X)=0,3.

Passo 10

Calculemos \mathbf{E}(Y) de forma análoga:
\mathbf{E}(Y)=0\cdot P(Y=0)+1\cdot P(Y=1)=P(Y=1)=0,3.

Passo 11

Pelo princípio da linearidade da expectativa,
\mathbf{E}(X+Y)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)=0,3+0,3=0,6.

Passo 12

Como checagem extra (opcional na prova) podemos calcular \mathbf{E}(X+Y) diretamente a partir da distribuição conjunta somando (x+y)f(x,y) sobre todos os pares (x,y):
\begin{aligned} \mathbf{E}(X+Y)&= (0+0)f(0,0)+(0+1)f(0,1)+(1+0)f(1,0)+(1+1)f(1,1)\\\ &=0\cdot 0,6 + 1\cdot 0,1 + 1\cdot 0,1 + 2\cdot 0,2\\\ &=0 + 0,1 + 0,1 + 0,4 = 0,6, \end{aligned}
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

(a) Não — X e Y não são independentes.
(b) \mathbf{E}(X+Y)=0,6

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