O número de falhas de hardware
e o número de falhas de software
em qualquer dia em certo laboratório de computadores tem a distribuição conjunta
com
0.1 e
. Baseando-se nesta informação, responda:
a) falhas de hardware e software (
e
) são independentes?
b) qual o valor esperado do número total de falhas em um dia
?
a) falhas de hardware e software (
b) qual o valor esperado do número total de falhas em um dia
Passo 1
O enunciado dá a distribuição conjunta dos números de falhas de hardware
e de software
em um dia, com as probabilidades:
As perguntas são:
a) e
são independentes?
b) Qual é o valor esperado do número total de falhas em um dia, isto é, ?
a)
b) Qual é o valor esperado do número total de falhas em um dia, isto é,
Passo 2
Vamos começar encontrando as distribuições marginais de
e de
. A margem de
é obtida somando
sobre todos os valores de
. A margem de
é obtida somando sobre todos os valores de
. Isso é padrão: a probabilidade de
é a soma das probabilidades conjuntas para esse
com todos os
.
Passo 3
Calculemos a margem de
:
Passo 4
Calculemos a margem de
:
Passo 5
Agora explico o que significa independência e como testá-la: duas variáveis discretas
e
são independentes se, para todo par
de valores possíveis,
Na prática na prova você calcula as marginais e verifica se o produto dá a probabilidade conjunta para cada combinação. Se alguma combinação falhar, não são independentes.
Passo 6
Apliquemos o teste para uma combinação específica (se uma falhar, já é suficiente). Tomemos
. O produto das marginais é
A probabilidade conjunta dada é
. Como
, a igualdade exigida para independência falha.
Passo 7
Conclusão sobre independência: como encontramos uma combinação em que
podemos afirmar que
e
não são independentes. Não é necessário testar todas as combinações — basta uma contradição.
Passo 8
Agora vamos ao valor esperado do total de falhas. Primeiro eu te explico a propriedade que vamos usar: a expectativa é linear. Ou seja,
Isso vale independentemente de
e
serem independentes ou não — é uma propriedade geral e muito útil na prova.
Passo 9
Calculemos
. Para uma variável que só assume
e
,
Já calculámos
, então
Passo 10
Calculemos
de forma análoga:
Passo 11
Pelo princípio da linearidade da expectativa,
Passo 12
Como checagem extra (opcional na prova) podemos calcular
diretamente a partir da distribuição conjunta somando
sobre todos os pares
:
o que confirma o resultado anterior.
Resposta
(a) Não —
e
não são independentes.
(b)
(b)