O lançamento de um dado pode resultar em um número de 1 a 6 com probabilidades iguais. Seja X o valor do resultado. Calcule \mathbf{E}(X) e \operatorname{Var}(X). O que significa o valor de \mathbf{E}(X) nesse contexto?

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas quantidades e interpretar uma delas. Mais precisamente:
  • Calcular \mathbf{E}(X).
  • Calcular \operatorname{Var}(X).
  • Explicar o que significa o valor de \mathbf{E}(X) nesse contexto.
Informações dadas:
  • A variável aleatória X é o resultado do lançamento de um dado justo.
  • Os possíveis valores de X são \,1,2,3,4,5,6.
  • As probabilidades são iguais para cada face, ou seja, para cada k\in\{1,2,3,4,5,6\} vale P(X=k)=\tfrac{1}{6}.

Passo 2

Definição e fórmula da esperança (média) para uma variável aleatória discreta:
  • A esperança \mathbf{E}(X) é a média ponderada dos valores que X pode assumir, com pesos iguais às probabilidades desses valores.
  • Em fórmula: \mathbf{E}(X)=\sum_{k} k\;P(X=k).
Aqui cada k é um valor possível de X e P(X=k) é a probabilidade desse valor.

Passo 3

Aplicando a fórmula da esperança ao nosso dado justo:
  • Como cada k\in\{1,\dots,6\} tem P(X=k)=\tfrac{1}{6}, temos
\mathbf{E}(X)=\sum_{k=1}^{6} k\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}k.
  • Calculo da soma \sum_{k=1}^{6}k: é 1+2+3+4+5+6. Uma forma rápida é emparelhar termos: (1+6)=7,(2+5)=7,(3+4)=7, três pares dão 3\cdot7=21.
  • Logo
\mathbf{E}(X)=\frac{1}{6}\cdot 21=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3{,}5.

Passo 4

Definição e fórmula da variância:
  • A variância mede a dispersão dos valores de X em torno da esperança. Uma fórmula muito usada é
\operatorname{Var}(X)=\mathbf{E}\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(\mathbf{E}(X)\bigr)^{2}.
  • Aqui \mathbf{E}(X^{2}) é a esperança do quadrado de X, ou seja \mathbf{E}(X^{2})=\sum_{k} k^{2}P(X=k).

Passo 5

Calcular \mathbf{E}(X^{2}):
  • Como antes, cada k tem probabilidade \tfrac{1}{6}, portanto
\mathbf{E}(X^{2})=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6} k^{2}.
  • A soma dos quadrados até 6 é \sum_{k=1}^{6} k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}. Usando a fórmula conhecida \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} com n=6, obtemos
\sum_{k=1}^{6}k^{2}=\frac{6\cdot7\cdot13}{6}=7\cdot13=91.
  • Logo
\mathbf{E}(X^{2})=\frac{1}{6}\cdot 91=\frac{91}{6}.

Passo 6

Calcular a variância usando os valores obtidos:
  • Já temos \mathbf{E}(X)=\dfrac{7}{2} e \mathbf{E}(X^{2})=\dfrac{91}{6}.
  • Pela fórmula da variância,
\operatorname{Var}(X)=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^{2}.
  • Calcule \left(\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}. Colocando em denominador comum 12:
\frac{91}{6}=\frac{182}{12},\qquad \frac{49}{4}=\frac{147}{12},
\operatorname{Var}(X)=\frac{182}{12}-\frac{147}{12}=\frac{35}{12}.
  • Em forma decimal aproximada, \operatorname{Var}(X)\approx 2{,}916.

Passo 7

Interpretação de \mathbf{E}(X) no contexto do lançamento do dado:
  • \mathbf{E}(X)=3{,}5 significa o valor médio que esperamos obter se repetirmos o experimento (lançar o dado) muitas vezes e fizermos a média aritmética dos resultados.
  • Observação importante: \,3{,}5 não é um resultado possível num único lançamento (não existe face 3{,}5), mas é o valor médio de longo prazo.
  • Em termos práticos: se você lançar o dado muitas vezes e registrar a média dos resultados, essa média tende a ficar próxima de 3{,}5.

Resposta

\mathbf{E}(X)=\dfrac{7}{2}=3{,}5
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{35}{12}
Interpretação: \mathbf{E}(X)=3{,}5 é a média esperada (o valor médio em longuíssimo prazo) dos resultados ao lançar o dado muitas vezes.

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