O lançamento de um dado pode resultar em um número de 1 a 6 com probabilidades iguais. Seja
o valor do resultado. Calcule
e
. O que significa o valor de
nesse contexto?
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas quantidades e interpretar uma delas. Mais precisamente:
- Calcular
. - Calcular
. - Explicar o que significa o valor de
nesse contexto.
Informações dadas:
- A variável aleatória
é o resultado do lançamento de um dado justo. - Os possíveis valores de
são . - As probabilidades são iguais para cada face, ou seja, para cada
vale .
Passo 2
Definição e fórmula da esperança (média) para uma variável aleatória discreta:
- A esperança
é a média ponderada dos valores que pode assumir, com pesos iguais às probabilidades desses valores. - Em fórmula:
Aqui cada
é um valor possível de
e
é a probabilidade desse valor.
Passo 3
Aplicando a fórmula da esperança ao nosso dado justo:
- Como cada
tem , temos
- Calculo da soma
: é . Uma forma rápida é emparelhar termos: , três pares dão . - Logo
Passo 4
Definição e fórmula da variância:
- A variância mede a dispersão dos valores de
em torno da esperança. Uma fórmula muito usada é
- Aqui
é a esperança do quadrado de , ou seja .
Passo 5
Calcular
:
- Como antes, cada
tem probabilidade , portanto
- A soma dos quadrados até 6 é
. Usando a fórmula conhecida com , obtemos
- Logo
Passo 6
Calcular a variância usando os valores obtidos:
- Já temos
e . - Pela fórmula da variância,
- Calcule
. Colocando em denominador comum :
- Em forma decimal aproximada,
.
Passo 7
Interpretação de
no contexto do lançamento do dado:
-
significa o valor médio que esperamos obter se repetirmos o experimento (lançar o dado) muitas vezes e fizermos a média aritmética dos resultados. - Observação importante:
não é um resultado possível num único lançamento (não existe face ), mas é o valor médio de longo prazo. - Em termos práticos: se você lançar o dado muitas vezes e registrar a média dos resultados, essa média tende a ficar próxima de
.
Resposta
Interpretação: