O número de apagões diários em certa cidade tem a seguinte função de distribuição (fmp):
x 0 1 2
f(x) 0.6 0.3 0.1
Um aplicativo de delivery local estima um prejuízo de \mathrm{R} \ 500$ em cada apagão. Calcule o valor esperado (esperança matemática) e a variância do prejuízo diário deste aplicativo causado pelos apagões.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do número de apagões diários X e pede o valor esperado (esperança matemática) e a variância do prejuízo diário do aplicativo causado por esses apagões. Dados fornecidos:
\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 1 & 2\\hline f(x)=\mathbb{P}(X=x) & 0{,}6 & 0{,}3 & 0{,}1 \end{array}
O prejuízo por apagão é \mathrm{R\$}\,500. Definimos a variável aleatória do prejuízo diário Y como
Y = 500\cdot X.
As perguntas são:
  1. Calcular \mathbb{E}[Y] (esperança do prejuízo diário).
  2. Calcular \operatorname{Var}(Y) (variância do prejuízo diário).

Passo 2

Relembrando a definição de esperança para variável discreta: se X toma valores x_i com probabilidades p_i, então
\mathbb{E}[X]=\sum_i x_i p_i.
Aqui os x_i são 0,1,2 e os p_i são 0{,}6,0{,}3,0{,}1. Vamos calcular \mathbb{E}[X] passo a passo:
\mathbb{E}[X]=0\cdot 0{,}6 + 1\cdot 0{,}3 + 2\cdot 0{,}1.
Agora avalio cada termo: 0\cdot 0{,}6=0, 1\cdot 0{,}3=0{,}3, 2\cdot 0{,}1=0{,}2. Somando,
\mathbb{E}[X]=0 + 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5.

Passo 3

Usando a linearidade da esperança: para todo escalar a e variável X vale \mathbb{E}[aX]=a\,\mathbb{E}[X]. Aqui Y=500X, então
\mathbb{E}[Y]=500\cdot \mathbb{E}[X].
Substituindo o valor obtido em \mathbb{E}[X]:
\mathbb{E}[Y]=500\cdot 0{,}5 = 250.
Interpretação: em média o aplicativo perde \mathrm{R\$}\,250 por dia devido a apagões.

Passo 4

Agora vamos calcular a variância. Definição útil: \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2. Primeiro precisamos de \mathbb{E}[X^2], que é
\mathbb{E}[X^2]=\sum_i x_i^2 p_i = 0^2\cdot 0{,}6 + 1^2\cdot 0{,}3 + 2^2\cdot 0{,}1.
Avalio termo a termo: 0^2\cdot 0{,}6=0, 1^2\cdot 0{,}3=0{,}3, 2^2\cdot 0{,}1=4\cdot 0{,}1=0{,}4. Somando,
\mathbb{E}[X^2]=0 + 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7.

Passo 5

Calculo \operatorname{Var}(X) usando os valores encontrados:
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = 0{,}7 - (0{,}5)^2.
(0{,}5)^2 = 0{,}25. Portanto
\operatorname{Var}(X)=0{,}7 - 0{,}25 = 0{,}45.

Passo 6

Agora passo a variância de Y=500X. Propriedade importante: para escalar a, \operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X). Aqui a=500, logo
\operatorname{Var}(Y)=500^2\cdot \operatorname{Var}(X).
Substituindo \operatorname{Var}(X)=0{,}45 e 500^2=250000,
\operatorname{Var}(Y)=250000\cdot 0{,}45 = 112500.
Unidade: a variância está em (\mathrm{R\$})^2. Se quiser a raiz quadrada (desvio padrão), \sqrt{112500}\approx 335{,}41 reais, mas a questão pediu variância.

Resposta

\mathbb{E}[\text{prejuízo diário}] = \text{R\$ }250íá
\operatorname{Var}(\text{prejuízo diário}) = 112500íá

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