O número \frac{3}{2+\sqrt{5}} é igual a:
a) 3 \sqrt{5}-6
b) -2+\sqrt{5}
c) \frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt{5}}{5}
d) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado pede para reescrever o número
\frac{3}{2+\sqrt{5}}
sem radical no denominador. O conteúdo aqui é racionalização de denominador, que consiste em multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por 2-\sqrt{5}, a conjugada de 2+\sqrt{5}:
\frac{3}{2+\sqrt{5}}\cdot\frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} =\frac{3(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}.

Passo 3

Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados:
(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1.
O numerador é
3(2-\sqrt{5})=6-3\sqrt{5}.
Logo,
\frac{3(2-\sqrt{5})}{-1}=-6+3\sqrt{5}=3\sqrt{5}-6.

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que corresponde à letra (a).

Resposta

(a) 3\sqrt{5}-6

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