Teorema Fundamental do Cálculo Complexo Verifique que, se
, então para qualquer caminho
de 0 até
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo para a função
isto é, mostrar que para qualquer caminho
que vai de
até
vale
O conteúdo principal é reconhecer que
é holomorfa em
e aplicar o teorema da primitiva.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
:
Como
é contínua em todo
,
é uma primitiva de
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Complexo, a integral de
ao longo de qualquer curva de
até
é
Aqui
e
, logo
Passo 3
Para ver isso diretamente por mudança de variável, seja
com
e
. Então
Substituindo os valores dos extremos:
e
.
Passo 4
Agora basta calcular
Expandindo
: