Teorema Fundamental do Cálculo Complexo Verifique que, se f(z)=z^{3}, então para qualquer caminho \gamma de 0 até 1+i :
\int_{\gamma} f^{\prime}(z) d z=f(1+i)-f(0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema Fundamental do Cálculo Complexo para a função
f(z)=z^3
isto é, mostrar que para qualquer caminho \gamma que vai de 0 até 1+i vale
\int_{\gamma}f'(z)\,dz \;=\; f(1+i)-f(0).
O conteúdo principal é reconhecer que f é holomorfa em \C e aplicar o teorema da primitiva.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f:
f'(z)=3z^2.
Como f'(z) é contínua em todo \C, f é uma primitiva de f'. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Complexo, a integral de f' ao longo de qualquer curva de a até b é
\int_{\gamma}f'(z)\,dz = f(b)-f(a).
Aqui a=0 e b=1+i, logo
\int_{\gamma}3z^2\,dz = f(1+i)-f(0).

Passo 3

Para ver isso diretamente por mudança de variável, seja \gamma\colon [t_0,t_1]\to\C com \gamma(t_0)=0 e \gamma(t_1)=1+i. Então
\int_{\gamma}f'(z)\,dz = \int_{t_0}^{t_1}f'(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt = \int_{t_0}^{t_1}\frac{d}{dt}\bigl(f(\gamma(t))\bigr)\,dt = f\bigl(\gamma(t_1)\bigr)-f\bigl(\gamma(t_0)\bigr).
Substituindo os valores dos extremos: \gamma(t_1)=1+i e \gamma(t_0)=0.

Passo 4

Agora basta calcular
f(1+i)=(1+i)^3 \quad\text{e}\quad f(0)=0^3=0.
Expandindo (1+i)^3:
(1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 1+2i-1=2i, \quad (1+i)^3 = (1+i)\cdot2i = 2i+2i^2 = 2i-2 = -2+2i.

Resposta

\int_{\gamma}f'(z)\,dz = f(1+i)-f(0) = -2+2i.

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