9: Utilizando a distribuição binomial, calcule. Em uma linha de produção são fabricadas lâmpadas incandescentes. E elas são embaladas de forma que cada embalagem contenha 10 unidades de lâmpadas. Sabe-se que a probabilidade de uma lâmpada sair de sua linha de produção com defeito é de 5 \%. Calcule a probabilidade de uma mesma embalagem conter 3 unidades de lâmpadas com defeito.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Uma embalagem contém 10 lâmpadas.
  • A probabilidade de uma lâmpada sair com defeito é 5\%. Ou seja, p=0,05.
  • Queremos a probabilidade de que exatamente 3 lâmpadas da mesma embalagem estejam com defeito. Em notação: queremos P(X=3), onde X é o número de lâmpadas defeituosas na embalagem.

Passo 2

Modelagem do problema (o raciocínio combinatório por trás):
Cada lâmpada é um ensaio com dois resultados possíveis: “defeito” (com probabilidade p) ou “não defeito” (com probabilidade 1-p). Como a embalagem tem 10 lâmpadas independentes e idênticas, o número de defeituosas X segue a distribuição binomial com parâmetros n=10 (número de ensaios) e p=0,05 (probabilidade de sucesso = defeito por ensaio). A fórmula da probabilidade para a binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios dão “sucesso” entre n,
  • p^{k} é a probabilidade de acontecerem esses k defeitos,
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k restantes não serem defeituosos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=10, k=3, p=0,05. Então
P(X=3)=\binom{10}{3}\,(0,05)^{3}\,(0,95)^{7}.
Agora vamos calcular cada peça dessa expressão.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{10}{3}. A definição é
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}.
Explicando factorial: n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Podemos simplificar:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{(3\cdot2\cdot1)\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Calculando:
\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.

Passo 5

Calcular p^{3}=(0,05)^{3}. Podemos fazer sucessivas multiplicações:
(0,05)^{2}=0,0025,\qquad (0,05)^{3}=0,0025\times0,05=0,000125.

Passo 6

Calcular (1-p)^{7}=(0,95)^{7}. Fazendo potências sucessivas:
(0,95)^{2}=0,9025,
(0,95)^{3}=0,9025\times0,95=0,857375,
(0,95)^{4}=0,857375\times0,95=0,81450625,
(0,95)^{5}=0,81450625\times0,95=0,7737809375,
(0,95)^{6}=0,7737809375\times0,95=0,735091890625,
(0,95)^{7}=0,735091890625\times0,95=0,69833729609375.

Passo 7

Agora juntamos tudo:
P(X=3)=120\times0,000125\times0,69833729609375.
Primeiro 120\times0,000125=0,015. Em seguida
0,015\times0,69833729609375=0,01047505944140625.
Em porcentagem isso dá aproximadamente 1,0475\%. Ou seja, a chance de uma embalagem ter exatamente 3 lâmpadas com defeito é cerca de 1,05\%.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: o valor é pequeno porque p=0,05 é baixo e pedir exatamente 3 defeitos em apenas 10 lâmpadas é relativamente raro. Bom trabalho por ter chegado até aqui — com esse passo a passo você já consegue aplicar a binomial em problemas parecidos!

Resposta

P(X=3)=0,01047505944140625\approx0,01048

Exercícios relacionados