9: Utilizando a distribuição binomial, calcule. Em uma linha de produção são fabricadas lâmpadas incandescentes. E elas são embaladas de forma que cada embalagem contenha 10 unidades de lâmpadas. Sabe-se que a probabilidade de uma lâmpada sair de sua linha de produção com defeito é de
. Calcule a probabilidade de uma mesma embalagem conter 3 unidades de lâmpadas com defeito.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Uma embalagem contém
lâmpadas. - A probabilidade de uma lâmpada sair com defeito é
. Ou seja, . - Queremos a probabilidade de que exatamente
lâmpadas da mesma embalagem estejam com defeito. Em notação: queremos , onde é o número de lâmpadas defeituosas na embalagem.
Passo 2
Modelagem do problema (o raciocínio combinatório por trás):
Cada lâmpada é um ensaio com dois resultados possíveis: “defeito” (com probabilidade ) ou “não defeito” (com probabilidade
). Como a embalagem tem
lâmpadas independentes e idênticas, o número de defeituosas
segue a distribuição binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de sucesso = defeito por ensaio). A fórmula da probabilidade para a binomial é:
Cada lâmpada é um ensaio com dois resultados possíveis: “defeito” (com probabilidade
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais ensaios dão “sucesso” entre , -
é a probabilidade de acontecerem esses defeitos, -
é a probabilidade dos restantes não serem defeituosos.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
,
,
. Então
Agora vamos calcular cada peça dessa expressão.
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
. A definição é
Explicando factorial:
. Podemos simplificar:
Calculando:
Passo 5
Calcular
. Podemos fazer sucessivas multiplicações:
Passo 6
Calcular
. Fazendo potências sucessivas:
Passo 7
Agora juntamos tudo:
Primeiro
. Em seguida
Em porcentagem isso dá aproximadamente
. Ou seja, a chance de uma embalagem ter exatamente
lâmpadas com defeito é cerca de
.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: o valor é pequeno porque
é baixo e pedir exatamente
defeitos em apenas
lâmpadas é relativamente raro. Bom trabalho por ter chegado até aqui — com esse passo a passo você já consegue aplicar a binomial em problemas parecidos!