O número de habitantes de uma cidade hoje é igual 7.000 e cresce à taxa de 3 \% a.a. Daqui a quanto tempo a população dobrará?

Passo 1

O enunciado diz que a população atual de uma cidade é P_{0}=7000 e cresce à taxa de 3\% ao ano. Queremos saber em quantos anos essa população dobrará. O conteúdo envolvido é o modelo de crescimento exponencial, cuja fórmula geral é
P(t)=P_{0}\,(1+r)^{t},
onde r é a taxa de crescimento anual e t o tempo em anos.

Passo 2

Para que a população dobre, precisamos que P(t)=2P_{0}. Substituindo na fórmula do crescimento exponencial, obtemos
P_{0}\,(1+r)^{t}=2P_{0}
e, como P_{0}\neq0, isso reduz-se a
(1+r)^{t}=2.

Passo 3

Agora usamos logaritmos para isolar t. Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
t\,\ln(1+r)=\ln 2
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t=\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}.
Como a taxa é r=0,03, temos
t=\frac{\ln 2}{\ln(1,03)}.

Passo 4

Basta calcular numericamente:
\ln 2\approx0,6931 e \ln(1,03)\approx0,02956. Portanto
t\approx\frac{0,6931}{0,02956}\approx23,45.

Resposta

Daqui a aproximadamente 23,45 anos a população dobrará.

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