O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7000 e cresce à taxa de
ao ano. Daqui a quanto tempo a população dobrará?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A população hoje vale
. - A população cresce à taxa de
ao ano.
A pergunta é: daqui a quanto tempo a população dobrará (ou seja, quando a população atingir)?
Passo 2
Modelo de crescimento que vamos usar (motivo e definição).
- Quando uma quantidade cresce a uma taxa percentual fixa por ano, o modelo básico é o de crescimento geométrico (capitalização anual):
onde:
-
é a população depois de anos; -
é a população inicial (aqui ); -
é a taxa anual em forma decimal (aqui ); -
é o tempo medido em anos.
Explicação intuitiva: após 1 ano a população fica, após 2 anos fica e assim por diante — por isso a potência.
Obs.: existe também o modelo com crescimento contínuo
, mas como o enunciado dá uma taxa “ao ano” sem mencionar contínua, o modelo com
é o mais direto e padrão.
Passo 3
Escrever a equação pedida (população dobrar) e simplificar.
Queremos . Substituindo o modelo:
Queremos
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Resolver a equação exponencial usando logaritmos (propriedade utilizada).
- Propriedade de logaritmos que usamos:
.
Aplicandonos dois lados:
Logo
Aqui
é o logaritmo natural; poderia usar qualquer base de logaritmo (por exemplo
), porque a razão cancela a base.
Passo 5
Cálculo numérico e interpretação do resultado.
- Valores aproximados (usando tábuas ou calculadora para
):
Dividindo:
Arredondando com razoável precisão:
Interpretação em anos e meses:
de ano corresponde a cerca de
meses, isto é, aproximadamente 23 anos e 5 meses.
Observação final: se alguém interpretasse “
ao ano” como taxa contínua
no modelo
, o tempo seria um pouco menor:
anos. A diferença é pequena; o modelo anual discreto é o mais comum para esse enunciado.