O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7000 e cresce à taxa de 3 \% ao ano. Daqui a quanto tempo a população dobrará?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A população hoje vale P_0 = 7000.
  • A população cresce à taxa de 3\% ao ano.
    A pergunta é: daqui a quanto tempo a população dobrará (ou seja, quando a população atingir 2P_0 = 14000)?

Passo 2

Modelo de crescimento que vamos usar (motivo e definição).
  • Quando uma quantidade cresce a uma taxa percentual fixa por ano, o modelo básico é o de crescimento geométrico (capitalização anual):
P(t)=P_0(1+r)^t,
onde:
  • P(t) é a população depois de t anos;
  • P_0 é a população inicial (aqui 7000);
  • r é a taxa anual em forma decimal (aqui r=0,03);
  • t é o tempo medido em anos.
    Explicação intuitiva: após 1 ano a população fica P_0(1+r), após 2 anos fica P_0(1+r)^2 e assim por diante — por isso a potência.
Obs.: existe também o modelo com crescimento contínuo P(t)=P_0 e^{kt}, mas como o enunciado dá uma taxa “ao ano” sem mencionar contínua, o modelo com (1+r)^t é o mais direto e padrão.

Passo 3

Escrever a equação pedida (população dobrar) e simplificar.
Queremos P(t)=2P_0. Substituindo o modelo:
P_0(1+r)^t = 2P_0.
Como P_0\neq0, podemos dividir ambos os lados por P_0:
(1+r)^t = 2.
Substituindo r=0,03 obtemos
(1,03)^t = 2.

Passo 4

Resolver a equação exponencial usando logaritmos (propriedade utilizada).
  • Propriedade de logaritmos que usamos: \ln(a^t)=t\ln a.
    Aplicando \ln nos dois lados:
\ln\bigl((1,03)^t\bigr)=\ln 2
t\ln(1,03)=\ln 2
Logo
t=\frac{\ln 2}{\ln(1,03)}.
Aqui \ln é o logaritmo natural; poderia usar qualquer base de logaritmo (por exemplo \log_{10}), porque a razão cancela a base.

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação do resultado.
  • Valores aproximados (usando tábuas ou calculadora para \ln):
\ln 2 \approx 0,693147\quad\text{e}\quad \ln(1,03)\approx 0,0295588.
Dividindo:
t\approx\frac{0,693147}{0,0295588}\approx 23,452\ldots
Arredondando com razoável precisão:
t\approx 23,45\\ \text{anos}.
Interpretação em anos e meses: 0,45 de ano corresponde a cerca de 0,45\times 12\approx 5,4 meses, isto é, aproximadamente 23 anos e 5 meses.
Observação final: se alguém interpretasse “ 3\% ao ano” como taxa contínua k=0,03 no modelo P_0 e^{kt}, o tempo seria um pouco menor: t=\dfrac{\ln 2}{0,03}\approx 23,10 anos. A diferença é pequena; o modelo anual discreto é o mais comum para esse enunciado.

Resposta

t \approx 23,45\\ \text{anos}

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