Um automóvel novo vale hoje \mathrm{R} \ 20000,00 e sofre desvalorização deçã15 %$ ao ano. Daqui a quanto tempo seu valor se reduzirá à metade?

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Valor atual do automóvel: V_0=\mathrm{R}\$\,20000{,}00.
  • Taxa de desvalorização: 15\% ao ano.
  • Pergunta: daqui a quanto tempo o valor do carro será a metade do valor atual? Ou seja, encontrar o tempo t tal que o valor seja \mathrm{R}\$\,10000{,}00.

Passo 2

Modelando a desvalorização ano a ano: quando algo se desvaloriza uma fração fixa por período, o valor segue um decaimento exponencial. A fórmula geral é
V(t)=V_0(1-r)^{t},
onde:
  • V(t) é o valor após t anos,
  • V_0 é o valor inicial,
  • r é a taxa de desvalorização por ano (na forma decimal),
  • t é o tempo em anos.
Aqui r=0{,}15, então 1-r=0{,}85. Escrevendo o modelo para este carro:
V(t)=20000\cdot(0{,}85)^{t}.

Passo 3

Queremos o tempo t tal que V(t) seja a metade de V_0, isto é 10000. Montamos a equação:
20000\cdot(0{,}85)^{t}=10000.
Dividindo ambos os lados por 20000 para simplificar:
(0{,}85)^{t}=\dfrac{10000}{20000}=\dfrac{1}{2}=0{,}5.

Passo 4

Para resolver uma igualdade da forma a^{t}=b com 0<a<1 e 0<b<1, usamos logaritmos. Propriedade útil:
\ln\bigl(a^{t}\bigr)=t\ln(a).
Aplicando o logaritmo natural na equação (0{,}85)^{t}=0{,}5 obtemos:
t\ln(0{,}85)=\ln(0{,}5).

Passo 5

Isolando t:
t=\dfrac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}85)}.
Explicando as partes: \ln(0{,}5) é o logaritmo natural de 0{,}5 e \ln(0{,}85) é o logaritmo natural de 0{,}85. A divisão dá o número de anos necessários porque o log transforma a potência em multiplicação.

Passo 6

Agora calculamos numericamente. Valores (aproximações usuais):
\ln(0{,}5)\approx -0{,}693147,\qquad \ln(0{,}85)\approx -0{,}162519.
Logo
t\approx \dfrac{-0{,}693147}{-0{,}162519}\approx 4{,}268\\ \text{anos}.

Passo 7

Interpretação prática: 4{,}268 anos é cerca de 4 anos mais uma fração. Convertendo a parte decimal em meses:
0{,}268\times 12 \approx 3{,}22\\ \text{meses},
ou seja aproximadamente 4 anos, 3 meses e 6 dias (pois 0{,}22\times 30\approx 6{,}6 dias). Então em linguagem comum: cerca de 4 anos e 3 meses.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio para a prova (cola mental): modela como V_0(1-r)^t, iguala a metade V_0/2, simplifica para (1-r)^t=1/2 e resolve com logaritmo: t=\ln(1/2)/\ln(1-r). É um padrão que cai bem em qualquer questão de “metade” com taxa percentual constante.

Resposta

t\approx 4{,}27\\ \text{anos} (aproximadamente 4 anos e 3 meses).

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