Um automóvel novo vale hoje
20000,00
15 %$ ao ano. Daqui a quanto tempo seu valor se reduzirá à metade?
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Valor atual do automóvel:
. - Taxa de desvalorização:
ao ano. - Pergunta: daqui a quanto tempo o valor do carro será a metade do valor atual? Ou seja, encontrar o tempo
tal que o valor seja .
Passo 2
Modelando a desvalorização ano a ano: quando algo se desvaloriza uma fração fixa por período, o valor segue um decaimento exponencial. A fórmula geral é
onde:
-
é o valor após anos, -
é o valor inicial, -
é a taxa de desvalorização por ano (na forma decimal), -
é o tempo em anos.
Aqui
, então
. Escrevendo o modelo para este carro:
Passo 3
Queremos o tempo
tal que
seja a metade de
, isto é
. Montamos a equação:
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Passo 4
Para resolver uma igualdade da forma
com
e
, usamos logaritmos. Propriedade útil:
Aplicando o logaritmo natural na equação
obtemos:
Passo 5
Isolando
:
Explicando as partes:
é o logaritmo natural de
e
é o logaritmo natural de
. A divisão dá o número de anos necessários porque o log transforma a potência em multiplicação.
Passo 6
Agora calculamos numericamente. Valores (aproximações usuais):
Logo
Passo 7
Interpretação prática:
anos é cerca de
anos mais uma fração. Convertendo a parte decimal em meses:
ou seja aproximadamente
anos,
meses e
dias (pois
dias). Então em linguagem comum: cerca de
anos e
meses.
Passo 8
Resumo rápido do raciocínio para a prova (cola mental): modela como
, iguala a metade
, simplifica para
e resolve com logaritmo:
. É um padrão que cai bem em qualquer questão de “metade” com taxa percentual constante.