Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números
. Determine a probabilidade de:
o número ser divisível por 4 e por 6 .
o número ser divisível por 4 e por 6 .
Passo 1
O enunciado: um inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os inteiros
. Pede-se a probabilidade de o número escolhido ser divisível por
e por
ao mesmo tempo.
Informações dadas:
- Espaço amostral (número total de resultados igualmente prováveis):
números, isto é, os inteiros de a . - Evento desejado: escolher um número que seja divisível por
e também divisível por .
O que vamos precisar calcular: quantos inteiros em
são divisíveis simultaneamente por
e por
(número de casos favoráveis) e dividir por
(total de casos).
Passo 2
Entendendo "divisível por
e por
" de forma prática: um número é divisível por
e por
ao mesmo tempo se, e somente se, for divisível pelo mínimo múltiplo comum de
e
. Esse mínimo múltiplo comum é chamado de MMC ou em inglês LCM (least common multiple).
Por que usar o MMC? Se
é múltiplo de
e de
, então existem inteiros
tais que
e
. Isso implica que
é múltiplo de qualquer múltiplo comum de
e
, e o menor desses múltiplos é o MMC — logo
é múltiplo do MMC. Reciprocamente, se
é múltiplo do MMC, ele é múltiplo de
e de
. Assim o conjunto de números múltiplos de ambos é exatamente o conjunto de múltiplos do MMC.
Passo 3
Como calcular o MMC de dois números? Uma fórmula prática é
onde
é o máximo divisor comum de
e
.
Calculemos
. Observando os divisores:
- divisores de
: ; - divisores de
: .
O maior divisor comum é. Portanto
Agora o MMC:
Pequeno exemplo intuitivo: para ser divisível por
e por
ao mesmo tempo, o número precisa ser divisível por
. Aqui, para
e
, o MMC é
.
Passo 4
Agora contamos quantos múltiplos de
existem entre
e
. Os múltiplos positivos de
são
. O número de múltiplos de
menores ou iguais a
é dado por
onde
é a parte inteira (piso) de
.
Calculemos:
Listando-os para conferir:
— são exatamente
números.
Passo 5
A probabilidade pedida é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos (tudo com probabilidades iguais). Assim,
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
: