Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1,2,3, \ldots, 49,50. Determine a probabilidade de:
o número ser divisível por 4 e por 6 .

Passo 1

O enunciado: um inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os inteiros \{1,2,3,\ldots,49,50\}. Pede-se a probabilidade de o número escolhido ser divisível por 4 e por 6 ao mesmo tempo.
Informações dadas:
  • Espaço amostral (número total de resultados igualmente prováveis): 50 números, isto é, os inteiros de 1 a 50.
  • Evento desejado: escolher um número que seja divisível por 4 e também divisível por 6.
O que vamos precisar calcular: quantos inteiros em \{1,\dots,50\} são divisíveis simultaneamente por 4 e por 6 (número de casos favoráveis) e dividir por 50 (total de casos).

Passo 2

Entendendo "divisível por 4 e por 6" de forma prática: um número é divisível por 4 e por 6 ao mesmo tempo se, e somente se, for divisível pelo mínimo múltiplo comum de 4 e 6. Esse mínimo múltiplo comum é chamado de MMC ou em inglês LCM (least common multiple).
Por que usar o MMC? Se n é múltiplo de 4 e de 6, então existem inteiros a,b tais que n=4a e n=6b. Isso implica que n é múltiplo de qualquer múltiplo comum de 4 e 6, e o menor desses múltiplos é o MMC — logo n é múltiplo do MMC. Reciprocamente, se n é múltiplo do MMC, ele é múltiplo de 4 e de 6. Assim o conjunto de números múltiplos de ambos é exatamente o conjunto de múltiplos do MMC.

Passo 3

Como calcular o MMC de dois números? Uma fórmula prática é
\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)},
onde \gcd(a,b) é o máximo divisor comum de a e b.
Calculemos \gcd(4,6). Observando os divisores:
  • divisores de 4: 1,2,4;
  • divisores de 6: 1,2,3,6.
    O maior divisor comum é 2. Portanto
\gcd(4,6)=2.
Agora o MMC:
\mathrm{lcm}(4,6)=\frac{4\cdot 6}{\gcd(4,6)}=\frac{24}{2}=12.
Pequeno exemplo intuitivo: para ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, o número precisa ser divisível por \mathrm{lcm}(2,3)=6. Aqui, para 4 e 6, o MMC é \,12.

Passo 4

Agora contamos quantos múltiplos de \,12 existem entre 1 e 50. Os múltiplos positivos de 12 são 12,24,36,48,\ldots. O número de múltiplos de 12 menores ou iguais a 50 é dado por
\left\lfloor \frac{50}{12} \right\rfloor,
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira (piso) de x.
Calculemos:
\frac{50}{12}\approx 4{,}166\ldots\quad\Rightarrow\quad \left\lfloor \frac{50}{12} \right\rfloor = 4.
Listando-os para conferir: \{12,24,36,48\} — são exatamente 4 números.

Passo 5

A probabilidade pedida é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos (tudo com probabilidades iguais). Assim,
\text{probabilidade}=\frac{\text{nº de múltiplos de }12\text{ em }1\ldots50}{50}=\frac{4}{50}.ºú
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{4}{50}=\frac{2}{25}.

Resposta

\dfrac{2}{25}

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