Num processo de auditoria estima-se que 6 % das faturas encontram-se com algum problema. Da população de faturas é selecionada uma amostra de 10 faturas para serem avaliadas. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de que não haja fatura com problema?
b) qual a probabilidade de que haja mais de uma fatura com problema? .
a) qual a probabilidade de que não haja fatura com problema?
b) qual a probabilidade de que haja mais de uma fatura com problema? .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (peguei estes números do enunciado):
- Proporção (probabilidade) de uma fatura com problema:
. - Tamanho da amostra:
faturas, selecionadas independentemente.
O que é pedido:
a) a probabilidade de que não haja nenhuma fatura com problema na amostra (ou seja, exatamente zero com problema);
b) a probabilidade de que haja mais de uma fatura com problema na amostra (ou seja, o número de faturas com problema seja maior que um).
Passo 2
Modelo que vamos usar — explicação didática:
- Quando temos
tentativas independentes, cada uma com probabilidade de “sucesso” (aqui “sucesso” = fatura com problema), o número de sucessos segue a distribuição binomial de parâmetros e . - A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é
onde:
-
(lê-se "combinação de em ") é o número de maneiras diferentes de escolher quais tentativas serão as com problema; -
é a probabilidade de obter problema nas escolhidas; -
é a probabilidade de não ter problema nas demais . - No nosso caso:
e . Para e teremos coeficientes simples: e .
Passo 3
Calcular a probabilidade do item (a) — zero faturas com problema.
- Usando a fórmula com
:
- Substituindo
dá
- Vamos calcular passo a passo
:
Portanto a probabilidade de não haver fatura com problema é aproximadamente
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de exatamente uma fatura com problema (isso será útil para o item b).
- Usando a fórmula com
:
- Substituindo
e o valor de calculado antes:
- Calculemos:
Logo
.
Passo 5
Calcular a probabilidade do item (b) — “mais de uma fatura com problema” significa
.
- Usamos o complemento (muito prático em provas):
- Substituindo os valores aproximados:
Então a probabilidade de haver mais de uma fatura com problema é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, em média, com
e amostras de
, há cerca de
de chance de encontrar mais de uma fatura problemática — não é muito alta, mas também não é desprezível. Você já entendeu o raciocínio: usar binomial, calcular os termos pequenos e usar complemento quando convém. Vamos que dá pra resolver várias questões desse tipo na prova!
Resposta
a)
b)
b)