Num processo de auditoria estima-se que 6 % das faturas encontram-se com algum problema. Da população de faturas é selecionada uma amostra de 10 faturas para serem avaliadas. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de que não haja fatura com problema?
b) qual a probabilidade de que haja mais de uma fatura com problema? .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (peguei estes números do enunciado):
  • Proporção (probabilidade) de uma fatura com problema: p=0,06.
  • Tamanho da amostra: n=10 faturas, selecionadas independentemente.
    O que é pedido:
    a) a probabilidade de que não haja nenhuma fatura com problema na amostra (ou seja, exatamente zero com problema);
    b) a probabilidade de que haja mais de uma fatura com problema na amostra (ou seja, o número de faturas com problema seja maior que um).

Passo 2

Modelo que vamos usar — explicação didática:
  • Quando temos n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = fatura com problema), o número de sucessos X segue a distribuição binomial de parâmetros n e p.
  • A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} (lê-se "combinação de n em k") é o número de maneiras diferentes de escolher quais k tentativas serão as com problema;
  • p^{k} é a probabilidade de obter problema nas k escolhidas;
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de não ter problema nas demais n-k.
  • No nosso caso: n=10 e p=0,06. Para k=0 e k=1 teremos coeficientes simples: \binom{10}{0}=1 e \binom{10}{1}=10.

Passo 3

Calcular a probabilidade do item (a) — zero faturas com problema.
  • Usando a fórmula com k=0:
\mathbb{P}(X=0)=\binom{10}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{10}=1\cdot 1\cdot (1-p)^{10}=(1-p)^{10}.
  • Substituindo p=0,06
\mathbb{P}(X=0)=(0,94)^{10}.
  • Vamos calcular passo a passo 0,94^{10}:
0,94^{2}=0,8836,
0,94^{3}=0,830584,
0,94^{4}=0,78074896,
0,94^{5}=0,7339040224,
0,94^{6}=0,690869781056,
0,94^{7}=0,64941759424224,
0,94^{8}=0,6104525385877056,
0,94^{9}=0,5738253862724432,
0,94^{10}=0,5393958630960966\approx0,5394.
Portanto a probabilidade de não haver fatura com problema é aproximadamente 0,5394.

Passo 4

Calcular a probabilidade de exatamente uma fatura com problema (isso será útil para o item b).
  • Usando a fórmula com k=1:
\mathbb{P}(X=1)=\binom{10}{1}\,p^{1}\,(1-p)^{9}=10\cdot p\cdot(1-p)^{9}.
  • Substituindo p=0,06 e o valor de (0,94)^{9} calculado antes:
\mathbb{P}(X=1)=10\cdot 0,06\cdot 0,5738253862724432.
  • Calculemos:
10\cdot 0,06=0,6,
0,6\cdot 0,5738253862724432=0,3442952317634659\approx0,3443.
Logo \mathbb{P}(X=1)\approx0,3443.

Passo 5

Calcular a probabilidade do item (b) — “mais de uma fatura com problema” significa X>1.
  • Usamos o complemento (muito prático em provas):
\mathbb{P}(X>1)=1-\mathbb{P}(X\le 1)=1-\big(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\big).
  • Substituindo os valores aproximados:
\mathbb{P}(X>1)=1-\big(0,5393958631+0,3442952318\big)=1-0,8836910949=0,1163089051\approx0,1163.
Então a probabilidade de haver mais de uma fatura com problema é aproximadamente 0,1163.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, em média, com p=0,06 e amostras de 10, há cerca de 11{,}63\% de chance de encontrar mais de uma fatura problemática — não é muito alta, mas também não é desprezível. Você já entendeu o raciocínio: usar binomial, calcular os termos pequenos e usar complemento quando convém. Vamos que dá pra resolver várias questões desse tipo na prova!

Resposta

a) \mathbb{P}(X=0)=(0,94)^{10}\approx0,5394
b) \mathbb{P}(X>1)=1-\big(\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\big)\approx0,1163

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