Para quais valores de r a função
satisfaz a equação diferencial
?
Se
e
são os valores que você encontrou no item (a), mostre que todo membro da família de funções
também é uma solução.
Se
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que
seja solução da EDO
, e depois mostrar que a combinação
também o é. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, que usamos resolvendo a equação característica.
Passo 2
Vamos supor
. Então
Passo 3
Substituindo na EDO
temos:
Passo 4
Fatorando
(que nunca é zero) obtém-se a equação característica:
Passo 5
Resolvendo a equação de segundo grau
pelo discriminante:
Passo 6
Passo 7
Logo
Passo 8
Para mostrar que
é solução, usamos a linearidade do operador
. Como
e
, então
Passo 9
Assim qualquer combinação linear dessas duas soluções também satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Os valores são
e
. E por linearidade do operador diferencial, qualquer função da forma
também satisfaz a equação.