Para quais valores de r a função y=e^r cdot x satisfaz a equação diferencial 2 y^prime prime+y^prime-y=0 ?
Se r1 e r2 são os valores que você encontrou no item (a), mostre que todo membro da família de funções y=a e^r1 x+b e^r2 x também é uma solução.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de r tais que y=e^r x seja solução da EDO 2y''+y'-y=0, e depois mostrar que a combinação y=a e^r1 x+b e^r2 x também o é. O conteúdo envolvido é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, que usamos resolvendo a equação característica.

Passo 2

Vamos supor y=e^r x. Então
y'=r e^r x,
y''=r^2 e^r x

Passo 3

Substituindo na EDO 2y''+y'-y=0 temos:
2(r^2 e^r x) + (r e^r x) - (e^r x) = 0

Passo 4

Fatorando e^r x (que nunca é zero) obtém-se a equação característica:
2r^2 + r - 1 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação de segundo grau 2r^2 + r -1=0 pelo discriminante:
De

Passo 6

r=-1pmraiz92cdot2=-1pm34

Passo 7

Logo
r1=-1+34=12, r2=-1-34=-1

Passo 8

Para mostrar que y=a e^r1 x+b e^r2 x é solução, usamos a linearidade do operador L[y]=2y''+y'-y. Como L[e^r1 x]=0 e L[e^r2 x]=0, então
L[y]=aL[e^r1 x]+bL[e^r2 x]=acdot0+bcdot0=0

Passo 9

Assim qualquer combinação linear dessas duas soluções também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Os valores são r1=tfrac12 e r2=-1. E por linearidade do operador diferencial, qualquer função da forma y=a e^r1 x+b e^r2 x também satisfaz a equação.

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