Uma moeda é lançada até aparecerem duas caras ou quatro coroas. Ache o número esperado de lançamento, supondo:
p(c)=0,50

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “A gente lança uma moeda até obter 2 caras ou 4 coroas, com E(i,j) ;=; 1 + p,E(i+1,j) + (1-p),E(i,j+1), . Queremos o número esperado de lançamentos.”
Conteúdo: é um problema de valor esperado de tempo de parada em cadeia de Markov absorvente (ou simplesmente usar recursão em expectativas).
O que vamos usar:
  • Definir estados = “já caíram caras e coroas”.
  • Montar uma equação de recorrência para , o número médio de lançamentos restantes.
  • Condições de parada (absorção): se ou , .
  • A Lei da Expectação Total: onde o “1” é o lançamento que a gente vai fazer agora, e .

Passo 2

Definimos
E(i,j) = esperança de lançamentos até parar, a partir de (i,j) ççé
Como dito, se E(i,j)=0 ou E(i,j) ;=; 1 + 0.5,E(i+1,j) ;+; 0.5,E(i,j+1) , a gente já parou e
Para os outros casos ( e ):

Passo 3

Começamos pelos estados que estão “mais perto” de parar:
  1. Estado E(1,3) = 1 + 0.5cdot 0 + 0.5cdot 0 = 1 .
    Aqui, se vier cara ( E(0,3) = 1 + 0.5cdot E(1,3) + 0.5cdot 0 = 1 + 0.5cdot 1 = 1.5 ) a gente vai pra e para ( );
    se vier coroa ( ) vai pra e para ( ).
    Logo
  2. Estado .
    Se vier cara, vai pra com ; se vier coroa, vai pra com .

Passo 4

Agora E(1,2) = 1 + 0.5cdot E(2,2) + 0.5cdot E(1,3) = 1 + 0.5cdot 0 + 0.5cdot 1 = 1.5 e E(0,2) = 1 + 0.5cdot E(1,2) + 0.5cdot E(0,3) = 1 + 0.5cdot1.5 + 0.5cdot1.5 = 2.5 :
  1. :
  2. :

Passo 5

Agora E(1,1) = 1 + 0.5cdot E(2,1) + 0.5cdot E(1,2) = 1 + 0.5cdot 0 + 0.5cdot1.5 = 1.75 e E(0,1) = 1 + 0.5cdot E(1,1) + 0.5cdot E(0,2) = 1 + 0.5cdot1.75 + 0.5cdot2.5 = 3.125 :
  1. :
  2. :

Passo 6

Por fim, E(1,0) = 1 + 0.5cdot E(2,0) + 0.5cdot E(1,1) = 1 + 0.5cdot 0 + 0.5cdot1.75 = 1.875 e E(0,0) = 1 + 0.5cdot E(1,0) + 0.5cdot E(0,1) = 1 + 0.5cdot1.875 + 0.5cdot3.125 = 1 + 0.9375 + 1.5625 = 3.5 :
  1. :
  2. é o que a gente quer:

Resposta

O número esperado de lançamentos até sair 2 caras ou 4 coroas é 3.5.

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