Uma moeda é lançada até aparecerem duas caras ou quatro coroas. Ache o número esperado de lançamento, supondo:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “A gente lança uma moeda até obter 2 caras ou 4 coroas, com
. Queremos o número esperado de lançamentos.”
Conteúdo: é um problema de valor esperado de tempo de parada em cadeia de Markov absorvente (ou simplesmente usar recursão em expectativas).
O que vamos usar:
Conteúdo: é um problema de valor esperado de tempo de parada em cadeia de Markov absorvente (ou simplesmente usar recursão em expectativas).
O que vamos usar:
- Definir estados
= “já caíram caras e coroas”. - Montar uma equação de recorrência para
, o número médio de lançamentos restantes. - Condições de parada (absorção): se
ou , . - A Lei da Expectação Total:
onde o “1” é o lançamento que a gente vai fazer agora, e .
Passo 2
Definimos
Como dito, se
ou
, a gente já parou e
Para os outros casos (
e
):
Passo 3
Começamos pelos estados que estão “mais perto” de parar:
- Estado
.
Aqui, se vier cara () a gente vai pra e para ( );
se vier coroa () vai pra e para ( ).
Logo - Estado
.
Se vier cara, vai pracom ; se vier coroa, vai pra com .
Passo 4
Agora
e
:
-
: -
:
Passo 5
Agora
e
:
-
: -
:
Passo 6
Por fim,
e
:
-
: -
é o que a gente quer:
Resposta
O número esperado de lançamentos até sair 2 caras ou 4 coroas é 3.5.