O Sargento Gercia acostuma acertar um em cada quatro disparos. Se der oito tiros no Zorro, qual a chance de acertar:
dois tiros?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: o Sargento Gercia acerta, em média, 1 em cada 4 disparos (logo, p=1/4). Ele dá 8 tiros no Zorro (então n=8). A pergunta é: qual a chance de ele acertar exatamente 2 tiros?
Conteúdo envolvido: distribuição binomial, cálculo de combinações (fatoriais), potência de probabilidades. Vamos precisar lembrar da fórmula da binomial e de como calcular combinações.

Passo 2

O modelo que usa esse tipo de situação (vários tiros independentes, cada um com mesma chance de acerto) é a distribuição binomial. Ela nos dá a probabilidade de termos exatamente k “sucessos” (aqui, acertos) em n tentativas, quando cada tentativa tem probabilidade p de sucesso.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Aqui:
  • (número de tiros)
  • (número de acertos que queremos)
  • (chance de acertar cada tiro)
  • (chance de errar cada tiro)

Passo 4

Precisamos calcular binom82 = 8!2!,(8-2)! = 8times7times6!2times1times6! = 8times72times1 = 28 . Lembra de fatorial?

Passo 5

Agora calculamos as potências:
p^k = l(tfrac14r)^2 = tfrac116, (1-p)^n-k = l(tfrac34r)^6 = 3^64^6 = 7294096

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(X=2) = 28 times 116 times 7294096 = 28 times 72916 times 4096 = 2041265536 = 510316384 approx 0,3113
Isso dá cerca de 0,3113, ou seja, 31,13%.

Resposta

A chance de o Sargento Gercia acertar exatamente 2 de 8 tiros é
boxedP(X=2) = binom82l(tfrac14r)^2l(tfrac34r)^6 approx 0,3113 (31,13%)

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