O número e mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? e nenhum afogamento?
Passo 1
O enunciado informa que há
mortes por afogamento para cada
habitantes. Pergunta-se, para uma população de
habitantes:
- Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente
afogamentos? - Qual a probabilidade de ocorrer nenhum afogamento?
Informações relevantes dadas:
- Taxa:
afogamentos por habitantes. - População considerada:
habitantes. - Queremos as probabilidades de
e de afogamentos.
Passo 2
Escolha do modelo probabilístico (explicação didática e motivo):
Quando temos muitos indivíduos (aqui ) e a probabilidade individual de um evento raro é pequena (aqui é baixa), é comum modelar o número total de eventos por duas opções:
Quando temos muitos indivíduos (aqui
- Modelo binomial com parâmetros
(número de pessoas) e (probabilidade individual), ou - Aproximação de Poisson, que é muito prática quando
é grande e é pequeno, com parâmetro .
Aproximação de Poisson é conveniente porque simplifica os cálculos e costuma ser muito boa para “eventos raros” espalhados. Vou usar Poisson aqui (é o método que o professor costuma aceitar nestes casos). Explico a distribuição de Poisson: se
é o número de eventos, então
onde
é o valor esperado (média) de
e
é o fatorial de
(por exemplo,
).
Passo 3
Calcular a probabilidade individual
, o número
e o parâmetro
:
- A probabilidade média por habitante (peguei do enunciado) é
- O número de indivíduos é
- Assim o valor esperado (média) para a população inteira é
Interpretação: esperamos, em média,
afogamentos nessa população — é esse
que entra na fórmula de Poisson.
Passo 4
Fórmula que vamos usar (relembrando): para
Poisson(
),
Aqui
. Vamos calcular primeiro
.
Passo 5
Cálculo de
passo a passo:
Aplicando a fórmula com e
:
Aplicando a fórmula com
Agora calculamos cada parte:
-
. -
.
Portanto
Uma forma prática de calcular progressivamente (útil na prova sem satisfazer todos os produtos de uma vez) é usar a recursão
Fazendo essas contas (valores numéricos aproximados):
Logo,
Passo 6
Cálculo de
(nenhum afogamento):
Usando a fórmula com ,
Usando a fórmula com
Numericamente,