O número e mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? e nenhum afogamento?

Passo 1

O enunciado informa que há 2 mortes por afogamento para cada 50\,000 habitantes. Pergunta-se, para uma população de 200\,000 habitantes:
  • Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 afogamentos?
  • Qual a probabilidade de ocorrer nenhum afogamento?
Informações relevantes dadas:
  • Taxa: 2 afogamentos por 50\,000 habitantes.
  • População considerada: 200\,000 habitantes.
  • Queremos as probabilidades de 5 e de 0 afogamentos.

Passo 2

Escolha do modelo probabilístico (explicação didática e motivo):
Quando temos muitos indivíduos (aqui 200\,000) e a probabilidade individual de um evento raro é pequena (aqui é baixa), é comum modelar o número total de eventos por duas opções:
  • Modelo binomial com parâmetros n (número de pessoas) e p (probabilidade individual), ou
  • Aproximação de Poisson, que é muito prática quando n é grande e p é pequeno, com parâmetro \lambda = n p.
Aproximação de Poisson é conveniente porque simplifica os cálculos e costuma ser muito boa para “eventos raros” espalhados. Vou usar Poisson aqui (é o método que o professor costuma aceitar nestes casos). Explico a distribuição de Poisson: se X é o número de eventos, então
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde \lambda é o valor esperado (média) de X e k! é o fatorial de k (por exemplo, 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120).

Passo 3

Calcular a probabilidade individual p, o número n e o parâmetro \lambda:
  • A probabilidade média por habitante (peguei do enunciado) é
p=\frac{2}{50\,000}=0,00004.
  • O número de indivíduos é
n=200\,000.
  • Assim o valor esperado (média) para a população inteira é
\lambda = n p = 200\,000 \times 0,00004 = 8.
Interpretação: esperamos, em média, 8 afogamentos nessa população — é esse \lambda que entra na fórmula de Poisson.

Passo 4

Fórmula que vamos usar (relembrando): para X\sim Poisson( \lambda),
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui \lambda=8. Vamos calcular primeiro P(X=5).

Passo 5

Cálculo de P(X=5) passo a passo:
Aplicando a fórmula com k=5 e \lambda=8:
P(X=5)=e^{-8}\frac{8^{5}}{5!}.
Agora calculamos cada parte:
  • 5! = 120.
  • 8^{5} = 8\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8 = 32\,768.
    Portanto
P(X=5)=e^{-8}\frac{32\,768}{120}.
Uma forma prática de calcular progressivamente (útil na prova sem satisfazer todos os produtos de uma vez) é usar a recursão
P(X=0)=e^{-8},
P(X=1)=P(X=0)\frac{8}{1},\quad P(X=2)=P(X=1)\frac{8}{2},\\ \ldots,\\ P(X=5)=P(X=4)\frac{8}{5}.
Fazendo essas contas (valores numéricos aproximados):
P(X=0)=e^{-8}\approx 0,0003354626,
P(X=1)\approx 0,0026837010,
P(X=2)\approx 0,0107348041,
P(X=3)\approx 0,0286261442,
P(X=4)\approx 0,0572522885,
P(X=5)=P(X=4)\frac{8}{5}\approx 0,0572522885\cdot\frac{8}{5}\approx 0,0916036616.
Logo,
P(X=5)\approx 0,0916036616\quad(\text{ou }9,16036616\%).

Passo 6

Cálculo de P(X=0) (nenhum afogamento):
Usando a fórmula com k=0,
P(X=0)=e^{-\lambda}=e^{-8}.
Numericamente,
P(X=0)=e^{-8}\approx 0,0003354626\quad(\text{ou }0,03354626\%).

Resposta

P(X=5)\approx 0,0916036616
P(X=0)\approx 0,0003354626

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