Prove por Indução Finita que \sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}, \forall n \in \mathbb{Z}, com n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução finita que, para todo inteiro n\ge 2,
\sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}.
Informações dadas:
  • A soma é a soma dos termos i(i+1) para i de 1 até n-1.
  • O objetivo é demonstrar que essa soma é igual a \dfrac{n(n-1)(n+1)}{3} para todo n\in\mathbb{Z} com n\ge2.
    Não há outras hipóteses ocultas: só precisamos aplicar o princípio da indução finita para provar a igualdade para todos os n\ge2.

Passo 2

Explicação do método (princípio da indução finita), de forma bem didática:
  • A indução finita prova que uma propriedade P(n) é verdadeira para todo inteiro n a partir de dois passos.
  • Base da indução: mostra-se que P(n) é verdadeira para o primeiro valor (aqui n=2).
  • Passo indutivo: assume-se que P(k) é verdadeira para um certo k\ge2 (hipótese de indução) e, a partir disso, demonstra-se que P(k+1) também é verdadeira.
  • Se a base é verdadeira e o passo indutivo é válido para todo k\ge2, então P(n) vale para todo n\ge2.
    Aqui a propriedade P(n) é: \displaystyle P(n)\colon \sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}.

Passo 3

Base da indução ( n=2). Calcular explicitamente ambos os lados:
Lado esquerdo:
\sum_{i=1}^{2-1} i(i+1)=\sum_{i=1}^{1} i(i+1)=1\cdot(1+1)=1\cdot2=2.
Lado direito:
\frac{2(2-1)(2+1)}{3}=\frac{2\cdot1\cdot3}{3}=2.
Como os dois lados coincidem, P(2) é verdadeira. Ótimo — a base está firmemente estabelecida.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro k\ge2 vale
\sum_{i=1}^{k-1} i(i+1)=\frac{k(k-1)(k+1)}{3}.
Essa é a hipótese que vamos usar para mostrar que a mesma fórmula vale quando n é substituído por k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar P(k+1), ou seja
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\frac{(k+1)k(k+2)}{3}.
Começamos escrevendo a soma até k como a soma até k-1 mais o termo de índice k:
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\sum_{i=1}^{k-1} i(i+1)+k(k+1).
Agora aplicamos a hipótese de indução (substituímos a soma até k-1 pela expressão dada):
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\frac{k(k-1)(k+1)}{3}+k(k+1).
Fatoramos k(k+1) em evidência (isto facilita a manipulação de frações):
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=k(k+1)\left(\frac{k-1}{3}+1\right).
Agora somamos as parcelas dentro do parêntese colocando em denominador comum:
\frac{k-1}{3}+1=\frac{k-1}{3}+\frac{3}{3}=\frac{k-1+3}{3}=\frac{k+2}{3}.
Substituindo de volta:
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=k(k+1)\cdot\frac{k+2}{3}=\frac{(k+1)k(k+2)}{3}.
Essa expressão é exatamente a forma da fórmula com n=k+1. Portanto P(k+1) é verdadeira sempre que P(k) for verdadeira.

Passo 6

Conclusão pela indução finita: como P(2) é verdadeira (base) e mostramos que P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k\ge2 (passo indutivo), pelo princípio da indução finita P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{Z} com n\ge2. Ou seja, a identidade foi provada para todos os n\ge2.

Resposta

\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}

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