Prove por Indução Finita que
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução finita que, para todo inteiro
,
Informações dadas:
- A soma é a soma dos termos
para de até . - O objetivo é demonstrar que essa soma é igual a
para todo com .
Não há outras hipóteses ocultas: só precisamos aplicar o princípio da indução finita para provar a igualdade para todos os.
Passo 2
Explicação do método (princípio da indução finita), de forma bem didática:
- A indução finita prova que uma propriedade
é verdadeira para todo inteiro a partir de dois passos. - Base da indução: mostra-se que
é verdadeira para o primeiro valor (aqui ). - Passo indutivo: assume-se que
é verdadeira para um certo (hipótese de indução) e, a partir disso, demonstra-se que também é verdadeira. - Se a base é verdadeira e o passo indutivo é válido para todo
, então vale para todo .
Aqui a propriedadeé:
Passo 3
Base da indução (
). Calcular explicitamente ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados coincidem,
é verdadeira. Ótimo — a base está firmemente estabelecida.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro
vale
Essa é a hipótese que vamos usar para mostrar que a mesma fórmula vale quando
é substituído por
.
Passo 5
Passo indutivo: provar
, ou seja
Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo de índice
:
Agora aplicamos a hipótese de indução (substituímos a soma até
pela expressão dada):
Fatoramos
em evidência (isto facilita a manipulação de frações):
Agora somamos as parcelas dentro do parêntese colocando em denominador comum:
Substituindo de volta:
Essa expressão é exatamente a forma da fórmula com
. Portanto
é verdadeira sempre que
for verdadeira.
Passo 6
Conclusão pela indução finita: como
é verdadeira (base) e mostramos que
para todo
(passo indutivo), pelo princípio da indução finita
é verdadeira para todo
com
. Ou seja, a identidade foi provada para todos os
.